江西省九江市永修县第三中学2024--2025学年上学期九年...

更新时间：2024-11-12 浏览次数：2 类型：月考试卷

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．

1. (2024九上·上思月考) 下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024九上·永修月考) 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为 $\text{[math]}$ ，则下面所列方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·永修月考) 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的情况为（）

A . 有两个相等的实数根 B . 有两个不相等的实数根 C . 只有一个实根 D . 没有实数根

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4. (2024九上·永修月考) 正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则这个正方形的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九上·永修月考) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M和N分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上一点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折叠，点A恰好落在边 $\text{[math]}$ 的中点E上．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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6. (2024九上·永修月考) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的个数有（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. (2024九上·深圳月考) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的周长为．

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8. (2024九上·永修月考) 将一元二次方程 $\text{[math]}$ 配方为 $\text{[math]}$ 的形式为．

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9. (2024九上·岳阳月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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10. (2024九上·永修月考) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则 $\text{[math]}$ ．

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11. (2024九上·永修月考) 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O，点E为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点F，G，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2024九上·永修月考) 矩形纸片 $\text{[math]}$ ，长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，折叠纸片，使折痕经过点B，交 $\text{[math]}$ 边于点E，点A落在点 $\text{[math]}$ 处，展平后得到折痕 $\text{[math]}$ ，同时得到线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，不再添加其他线段．当图中存在 $\text{[math]}$ 角时， $\text{[math]}$ 的长为cm．

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三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. (2024九上·永修月考) 用合适的方法解下列方程．
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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14. (2024九上·永修月考) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点E和点F在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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15. (2024九上·永修月考) 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？

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16. (2024九上·永修月考) 已知方程 $\text{[math]}$ 的一根是 $\text{[math]}$ ，求它的另一根及 $\text{[math]}$ 的值．

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17. (2024九上·临川期中) 如图， $\text{[math]}$ 为菱形 $\text{[math]}$ 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线．
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四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. (2024九上·永修月考) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，D为边 $\text{[math]}$ 上的中点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
求证：
1. （1）四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积S．
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19. (2024九上·永修月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，以 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：矩形 $\text{[math]}$ 是正方形．
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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五、题目

20. (2024九上·永修月考) 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理证明

（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ，垂足为O．

求证： $\text{[math]}$ 是菱形．

知识应用

（2）如图2，在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是菱形．

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六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. (2024九上·合浦期中) 在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点P从点A开始沿边 $\text{[math]}$ 向终点B以 $\text{[math]}$ 的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边 $\text{[math]}$ 向终点C以 $\text{[math]}$ 的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
1. （1）分别用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当t为何值时， $\text{[math]}$ 的长度等于 $\text{[math]}$ ？
3. （3）是否存在t的值，使得五边形 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
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22. (2024九上·永修月考) 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 $\text{[math]}$ 的最小值．
解： $\text{[math]}$ ；
∵无论x取何实数，都有 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的最小值为2．
【尝试应用】（1）请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；
【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式 $\text{[math]}$ 都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大值．

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七、（本大题共1小题，共12分）

23. (2024九上·永修月考) 【模型建立】
（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别在对角线 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在对角线 $\text{[math]}$ 上，点F在边 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．用等式写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

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