2025届湖南省益阳市一模数学试题

更新时间：2024-12-31 浏览次数：7 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·益阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·益阳模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点的轨迹是（）

A . 直线 B . 圆 C . 椭圆 D . 抛物线

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3. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 26 B . 32 C . 512 D . 1024

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4. (2024高三上·益阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·益阳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点重合，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·益阳模拟) 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. (2024高三上·益阳模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且线段 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，则下列结论错误的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是直角三角形 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形 C . 存在四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 D . 存在四边形 $\text{[math]}$ 是矩形

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8. (2024高三上·益阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. (2024高三上·官渡月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论成立的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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10. (2024高三上·益阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，对于任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论成立的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 在定义域上单调递增 C . 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程是 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·益阳模拟) 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一条长为 $\text{[math]}$ 的线段 B . 不存在点 $\text{[math]}$ ，便得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的最大体积为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三上·益阳模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三上·益阳模拟) 在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为.

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14. (2024高三上·益阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 $\text{[math]}$ ，定义集合 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数，若 $\text{[math]}$ 时，规定 $\text{[math]}$ .
（1）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，则数列 $\text{[math]}$ 的前50项之和为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·益阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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16. (2024高三上·益阳模拟) 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2：3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.

满意
不满意
总计
男游客
35

女游客

15

合计

100
1. （1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，依据表中数据，以及小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?
2. （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为 $\text{[math]}$ .求出 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
  参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  参考数据：
  $\text{[math]}$
  0.10
  0.05
  0.010
  0.005
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
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17. (2024高三上·东湖月考) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 均为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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18. (2024高三上·益阳模拟) 已知两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及一动点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率满足 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹记为 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.
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19. (2024高三上·益阳模拟) 若函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）证明：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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