2018年高考数学真题分类汇编专题20：导数在函数中的应用（综合题）-在线组卷

1. (2018·全国Ⅰ卷理) 已知函数 $\text{[math]}$

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ 存在两个极值点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$

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2. (2018·全国Ⅰ卷文) 已知函数f(x)=ae^x-lnx-1

（1）设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间
（2）证明：当a≥ $\text{[math]}$ 时，f(x)≥0

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3. (2018·全国Ⅱ卷理) 已知函数 $\text{[math]}$

（1）若a=1，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
（2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 只有一个零点，求 $\text{[math]}$ .

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4. (2019高二下·电白期末) 已知函数 $\text{[math]}$

（1）若a=3，求 $\text{[math]}$ 的单调区间
（2）证明： $\text{[math]}$ 只有一个零点

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5. (2018·全国Ⅲ卷文) 已知函数 $\text{[math]}$

（1）求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程
（2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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6. (2019高三上·天津月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点，求a．

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7. (2018·北京) 设函数 $\text{[math]}$ =[ $\text{[math]}$ -(4a+1)x+4a+3] $\text{[math]}$ .

（I）若曲线y= f（x）在点(1， $\text{[math]}$ )处的切线与X轴平行，求a：

(II)若 $\text{[math]}$ 在x=2处取得极小值，求a的取值范围。

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8. (2018·北京) 设函数 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，求a的取值范围.

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9. (2018·天津) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中a>1.

（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线平行，证明 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）证明当 $\text{[math]}$ 时，存在直线l ，使l是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线.

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10. (2022·玄武模拟) 已知函数f(x)= $\text{[math]}$ −lnx ．

（Ⅰ）若f(x)在x=x₁ ， x₂(x₁≠x₂)处导数相等，证明：f(x₁)+f(x₂)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

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11. (2018·江苏) 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $\text{[math]}$ 的一段圆弧 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为此圆弧的中点)和线段 $\text{[math]}$ 构成，已知圆 $\text{[math]}$ 的半径为40米，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为50米，先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $\text{[math]}$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $\text{[math]}$ 要求 $\text{[math]}$ 均在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 均在圆弧上，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为θ

（1）用 $\text{[math]}$ 分别表示矩形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积，并确定 $\text{[math]}$ 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当 $\text{[math]}$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

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12. (2018·江苏) 记 $\text{[math]}$ 分别为函数 $\text{[math]}$ 的导函数.若存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一个“S点”.

（1）证明：函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不存在“S点”.
（2）若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 存在“S点”，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
（3）已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，判断是否存在 $\text{[math]}$ ，使函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内存在”S点”，并说明理由.