云南省大理州2021届高三理数二模试卷

更新时间：2021-05-18 浏览次数：142 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·大理模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·大理模拟) 设复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在复平面中对应的点为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·大理模拟) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2021·大理模拟) 在区间 $\text{[math]}$ 上任取一个数k，使直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·大理模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·林芝模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的渐近线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·四川开学考) 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．若a₅–a₃=12，a₆–a₄=24，则 $\text{[math]}$ =（）

A . 2ⁿ–1 B . 2–2¹^–ⁿ C . 2–2ⁿ^–¹ D . 2¹^–ⁿ–1

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8. (2021·大理模拟) 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）

A . 10 B . 15 C . 18 D . 21

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9. (2021·大理模拟) 已知四面体 $\text{[math]}$ 所有顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为（）

A . 4π B . 6π C . 8π D . 12π

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10. (2022高三上·海口) 已知函数 $\text{[math]}$ 的零点依次构成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，把函数 $\text{[math]}$ 的图象沿x轴向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则函数 $\text{[math]}$ （）

A . 是偶函数 B . 其图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . 在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$

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11. (2023高三上·梅河口月考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，过F的直线l与抛物线交于点A，B ，与圆 $\text{[math]}$ 交于点P，Q ，其中点A，P在第一象限，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021·大理模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在唯一的 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围是（）

A . （e，4） B . （e $\text{[math]}$ ，4] C . （e $\text{[math]}$ ，4） D . （ $\text{[math]}$ ，4]

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二、填空题

13. (2021·大理模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的大小为

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14. (2021·大理模拟) 中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作(这四种著作每种各一本)，要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有种．(请用数字作答)

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15. (2021·大理模拟) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上移动，有下列判断：①平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；②平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；③三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变；④ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．其中，正确的是．（把所有正确的判断的序号都填上）

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16. (2021·大理模拟) 我们把 $\text{[math]}$ 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示数列 $\text{[math]}$ 的前n项之和，则使不等式 $\text{[math]}$ 成立的最大正整数n的值是

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三、解答题

17. (2021·大理模拟) △ABC中，角A ， B ， C对边的边长分别是a ， b ， c ，且a（cosB+cosC）＝b+c ．
1. （1）求证：A $\text{[math]}$ ；
2. （2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
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18. (2021·大理模拟) 如图甲，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折到 $\text{[math]}$ 位置，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，如图乙．
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在翻折过程中，当二面角 $\text{[math]}$ 为60°时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. (2021·大理模拟) 随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
y	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

当 $\text{[math]}$ 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： $\text{[math]}$ ；模型②： $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，确定y与x满足的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）根据下列表格中的数据，比较当 $\text{[math]}$ 时模型①、②的相关指数 $\text{[math]}$ 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．

回归模型

模型①

模型②

回归方程

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

182.4

79.2

（附：刻画回归效果的相关指数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程 $\text{[math]}$ 的系数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布 $\text{[math]}$ ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求 $\text{[math]}$ （精确到0.01）．
（附：若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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20. (2021·大理模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求椭圆的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. (2021·大理模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的零点个数；
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22. (2021·大理模拟) 以直角坐标系 $\text{[math]}$ 的原点为极坐标系的极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴．已知曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求直线 $\text{[math]}$ 的普通方程．
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23. (2021·大理模拟) 已知函数f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．
1. （1）求不等式|f（x）|＜4的解集；
2. （2）记f （x）的最大值为m ，设a ， b ， c＞0，且a+2b+3c＝m ，证明： $\text{[math]}$ ．
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