广东省惠州市2021届高三二模数学试题

更新时间：2021-07-01 浏览次数：167 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·惠州模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列集合不为空集的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·惠州模拟) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 9

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3. (2021·惠州模拟) 同学们都知道平面内直线方程的一般式为 $\text{[math]}$ ，我们可以这样理解：若直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的法向量，设直线 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，得直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的法向量，则平面 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·惠州模拟) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 的上方，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·惠州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，则其前 $\text{[math]}$ 项和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·惠州模拟) 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程 $\text{[math]}$ 的3个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知函数 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象相切于点 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 的图象于另一点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·惠州模拟) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为2，若以点 $\text{[math]}$ 为圆心的圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 的右顶点且与 $\text{[math]}$ 的两条渐近线相切，则 $\text{[math]}$ 长的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021·惠州模拟) 已知正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 以上均不对

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二、多选题

9. (2022·湖北模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中一定成立的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2021·惠州模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是等差数列 B . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是等比数列 C . 对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 一定是等差数列或等比数列 D . 存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 既不是等差数列也不是等比数列

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11. (2021·惠州模拟) 已知矩形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，点 $\text{[math]}$ 折至 $\text{[math]}$ ，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 四棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ D . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的球心在平面 $\text{[math]}$ 内

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12. (2021·惠州模拟) 将平面向量 $\text{[math]}$ 称为二维向量，由此可推广至 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ .对于 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其运算与平面向量类似，如数量积 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角），其向量 $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 不等式 $\text{[math]}$ 可能成立 B . 不等式 $\text{[math]}$ 一定成立 C . 不等式 $\text{[math]}$ 可能成立 D . 若 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 一定成立

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三、填空题

13. (2021·惠州模拟) 文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”.这些精品线路中包含上海一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种.

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14. (2021·惠州模拟) 满足等式 $\text{[math]}$ 的数组 $\text{[math]}$ 有无穷多个，试写出一个这样的数组.

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15. (2021·惠州模拟) 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. (2021·惠州模拟) 对于函数 $\text{[math]}$ ，有下列4个论断：甲：函数 $\text{[math]}$ 有两个减区间；乙：函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ；丙：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取极大值；丁：函数 $\text{[math]}$ 单调.若其中有且只有两个论断正确，则 $\text{[math]}$ 的取值为.

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四、解答题

17. (2021·惠州模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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18. (2021·惠州模拟) 请在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题.命题：已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 ▲ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立.

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19. (2021·惠州模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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20. (2021·惠州模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个点，其横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率（用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 表示）；
2. （2）若椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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21. (2021·惠州模拟) 运用计算机编程，设计一个将输入的正整数 $\text{[math]}$ “归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将 $\text{[math]}$ 中的任意一个整数替换 $\text{[math]}$ 的值并输出 $\text{[math]}$ 的值，反复按回车键执行以上操作直到输出 $\text{[math]}$ 后终止操作.
1. （1）若输入的初始值 $\text{[math]}$ 为3，记按回车键的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的概率分布与数学期望；
2. （2）设输入的初始值为 $\text{[math]}$ ，求运行“归零”程序中输出 $\text{[math]}$ 的概率.
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22. (2021·惠州模拟) 设 $\text{[math]}$ .
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 一定不单调；
2. （2）试给出一个正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立.
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