江苏省南京市2020-2021学年高二下学期数学期初考试试卷

更新时间：2021-06-25 浏览次数：99 类型：开学考试

一、单选题

1. (2021高二下·南京开学考) 命题“ $\text{[math]}$ ”的否定为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高二下·南京开学考) 如图在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020·苏州模拟) 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ，若该数列的第k项 $\text{[math]}$ 满足40< $\text{[math]}$ <70，则k的值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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4. (2021高二上·如皋期中) 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 $\text{[math]}$ (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A ， B两点)引垂线，垂足为Q ，则 $\text{[math]}$ 为常数.据此推断，此常数的值为（）

A . 椭圆的离心率 B . 椭圆离心率的平方 C . 短轴长与长轴长的比 D . 短轴长与长轴长比的平方

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5. (2021高二下·南京开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高二下·南京开学考) 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁与B₁C相交于点O ， ∠A₁AB=∠A₁AC= $\text{[math]}$ ，∠BAC= $\text{[math]}$ ，A₁A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高二下·南京开学考) 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高二下·南京开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点， $\text{[math]}$ 是它们的一个公共点，且 $\text{[math]}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高二下·南京开学考) 等差数列 $\text{[math]}$ 是递增数列，满足 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 最小 D . $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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10. (2021高二下·南京开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点，椭圆上至少有 $\text{[math]}$ 个不同的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…组成公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，则下列结论正确的是（）

A . 该椭圆的焦距为6 B . $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . $\text{[math]}$ 的值可以为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的值可以为 $\text{[math]}$

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11. (2021高二下·南京开学考) 下列说法正确的是（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件 B . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 的充要条件 C . 过点 $\text{[math]}$ 且与抛物线 $\text{[math]}$ 有且只有一个交点的直线有3条 D . 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线

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12. (2021高二下·南京开学考) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（）

A . a₈＝34 B . S₈＝54 C . S₂₀₂₀＝a₂₀₂₂－1 D . a₁＋a₃＋a₅＋…＋a₂₀₂₁＝a₂₀₂₂

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三、填空题

13. (2020高二上·海安期中) 已知命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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14. (2021高二下·南京开学考) 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

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15. (2021高二下·南京开学考) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 中能使 $\text{[math]}$ 成立的最小项，则数列 $\text{[math]}$ 的前15项之和为.

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16. (2021高二下·南京开学考) 直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2021高二下·南京开学考) 已知首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ 是递减数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .
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18. (2021高二下·南京开学考) 如图，已知ABCD为正方形， $\text{[math]}$ 平面ABCD ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；
2. （2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当 $\text{[math]}$ 平面BEF时，求线段MN的最小值.
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19. (2021高二下·南京开学考) 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上在第一象限内一点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求椭圆的离心率；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ .
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20. (2021高二下·南京开学考) 已知数列数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值，并证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. (2021高二下·南京开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）解关于x的不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若对 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求a的最大值.
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22. (2021高二下·南京开学考) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 且过定点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A ， B两点（如图所示）.
  ①线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；
  
  ②若直线DA ， DB与x轴分别交于M ， N两点，记M ， N的横坐标为m ， n ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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