河南省洛阳市2021届高三理数四模试卷

更新时间：2021-06-25 浏览次数：99 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·洛阳模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·洛阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，若复数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 是虚数单位)是纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0或1 B . 0 C . 1 D . -1

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3. (2021高三上·通州期中) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 63 B . 71 C . 99 D . 117

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4. (2021·洛阳模拟) 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（）

A . ①和② B . ②和③ C . ③和④ D . ②和④

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5. (2021·洛阳模拟) 设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . -2

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6. (2021·洛阳模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线的准线交于 $\text{[math]}$ 点，且点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 2

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7. (2021·洛阳模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021·洛阳模拟) 某市从8名优秀教师中选派4名同时去4个灾区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案的种数为（）

A . 1680 B . 960 C . 600 D . 480

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9. (2021·洛阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像由函数 $\text{[math]}$ 的图像经如下变换得到：先将 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 $\text{[math]}$ 的对称轴方程为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ，k∈Z C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. (2021·洛阳模拟) 已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球面上， $\text{[math]}$ 平面ABC． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直角三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021·洛阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点．若 $\text{[math]}$ 的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是．

A . (1， 3] B . (1，2] C . [2，3] D . [3，十∞)

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12. (2021·洛阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增.且关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 恰有两个不相等的实数解.则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2021·洛阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 均为正实数. $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. (2021·洛阳模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2021·洛阳模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2021·洛阳模拟) 若存在实常数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对其公共定义域上的任意实数 $\text{[math]}$ 都满足： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 恒成立，则称此直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“分隔直线”.已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在“分隔直线”，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. (2021·洛阳模拟) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2021·洛阳模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. (2021·洛阳模拟) 支付宝作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C类用户”，各类用户的人数如图所示：

同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的 $\text{[math]}$ 列联表：

	A类用户	非A类用户	合计
青年		20
中老年	40
合计			200

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表并判断是否有99.9%的把握认为“A类用户与年龄有关”；
（2）从这200人中按A类用户､B类用户､C类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中A类用户､B类用户､C类用户均存在的概率；

（3）把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取3人，用X表示所选3人中A类用户的人数，求X的分布列与期望.

附：

P（K²≥k）	0.01	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ )

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20. (2021·洛阳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆有且只有一个交点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，与 $\text{[math]}$ 平行的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.
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21. (2021·洛阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，且当对于任意实数 $\text{[math]}$ 时，存在正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小正整数值.
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22. (2021·洛阳模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P $\text{[math]}$ ，其参数方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求曲线E的极坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 交E于点A，B，且OA $\text{[math]}$ OB，求证： $\text{[math]}$ 为定值，并求出这个定值.
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23. (2021·洛阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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