浙江省宁波市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

更新时间：2021-07-08 浏览次数：227 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. (2021高一下·宁波期末) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高一下·宁波期末) 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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3. (2021高一下·宁波期末) 如图，水平放置的矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则其直观图的面积为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高一下·宁波期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . -1

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5. (2021高一下·宁波期末) 给出下列4个命题，其中正确的命题是（）．
①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．

A . ①② B . ③④ C . ②③ D . ①④

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6. (2021高一下·安吉期末) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为（）．

A . 24π B . 36π C . 72π D . 144π

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7. (2021高一下·宁波期末) 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数），则 $\text{[math]}$ 的值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高一下·宁波期末) 某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（）．

A . 0.45 B . 0.62 C . 0.7 D . 0.76

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. (2022高三上·浙江月考) 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是（）．

A . 若甲、乙两组数据的平均数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若甲、乙两组数据的方差分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D . 甲成绩比乙成绩稳定

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10. (2021高一下·宁波期末) 对任意向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列关系式中恒成立的是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021高一下·宁波期末) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）．

A . $\text{[math]}$ 在复平面内所对的点在第四象限 B . $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. (2021高一下·宁波期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是三个不同平面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三条不同直线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可以把空间最多分成7部分 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于一点 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. (2021高一下·宁波期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2021高一下·宁波期末) 如图，三棱台 $\text{[math]}$ 的上、下底边长之比为 $\text{[math]}$ ，记三棱锥 $\text{[math]}$ 体积为 $\text{[math]}$ ，三棱台 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2021高一下·宁波期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. (2021高一下·宁波期末) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积之比为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. (2021高一下·宁波期末)
（Ⅰ）在复数范围内解方程： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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18. (2021高一下·宁波期末) 某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四个位置建四座观景台，在凸四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）现要在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两处连接一根水下直管道，已知 $\text{[math]}$ ，问最少应准备多少千米管道．

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19. (2021高一下·宁波期末) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）现给出两个条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角和直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角相等，且 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

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20. (2021高一下·宁波期末) 首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求出图中 $\text{[math]}$ 的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；

（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．

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21. (2021高一下·宁波期末) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求角 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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22. (2021高一下·宁波期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）判断 $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 的位置并说明理由；

（Ⅱ）记直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅲ）若异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正切值．

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