广东省深圳市红岭中学2020-2021学年高二上学期数学期中...

更新时间：2021-10-13 浏览次数：141 类型：期中考试

一、单选题

1. (2020高二上·鱼台月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，焦点 $\text{[math]}$ 到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 三棱锥 $\text{[math]}$ 中，M，N分别是AB，OC的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 无法确定

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5. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 9

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6. 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为

A . 30° B . 120° C . 60° D . 90°

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7. $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的角平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2020高二上·重庆月考) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 分别与双曲线 $\text{[math]}$ 左右两支交于 $\text{[math]}$ 两点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 对于任意非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以下说法错误的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为单位向量

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10. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则下列说法一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为2 B . 线段AB为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切 C . $\text{[math]}$ 为定值 D . 过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则 $\text{[math]}$

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11. 直线a的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ； B . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ； C . 若 $\text{[math]}$ ，则直线a与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ； D . 若 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．

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12. 动点 $\text{[math]}$ 分别到两定点 $\text{[math]}$ 连线的斜率的乘积为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，则下列命题中正确的有（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$ ； B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； C . $\text{[math]}$ 的内切圆的面积的面积的最大值为 $\text{[math]}$ ； D . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．

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三、填空题

13. (2020高一下·广西开学考) 已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则正方体的体积为．

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14. 已知抛物线方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在此抛物线上运动，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 如图所示，直角 $\text{[math]}$ 绕直角边 $\text{[math]}$ 所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为.

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16. 如图，椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆过原点，且与椭圆 $\text{[math]}$ 在第一象限交于点 $\text{[math]}$ ，若过 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ ；椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 已知椭圆与双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点相同，且它们的离心率之和等于 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆方程；
2. （2）过椭圆内一点 $\text{[math]}$ 作一条弦 $\text{[math]}$ ，使该弦被点 $\text{[math]}$ 平分，求弦 $\text{[math]}$ 所在直线方程.
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18. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是直角三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：MN $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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19. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为弦 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角 $\text{[math]}$ 的大小是 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

若_________，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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21. 如图，在多面体ABCDEF中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）线段BD上是否存在点N，使得直线 $\text{[math]}$ 平面AFN？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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22. 设圆 $\text{[math]}$ 的圆心为A，直线l过点 $\text{[math]}$ 且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点E.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为定值，并求出点E的轨迹方程；
2. （2）若M，N是点E的轨迹上的动点，且直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，问在y轴上是否存在定点Q，使得 $\text{[math]}$ ？O为坐标原点，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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