广东省深圳市横岗高级中学2022届高三上学期数学第一次月考（...

更新时间：2021-10-26 浏览次数：81 类型：月考试卷

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.

1. 集合 $\text{[math]}$ 与集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 与集合 $\text{[math]}$ 的关系成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 是虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. 在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（　　）

A . πa² B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有两个相邻的极值点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只需将 $\text{[math]}$ 图象（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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5. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点 $\text{[math]}$ 为坐标原点），且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. (2021·山西模拟) 已知点A（1，m），B（2，n）是角 $\text{[math]}$ 的终边上的两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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8. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点 $\text{[math]}$ 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则棋子就按逆时针方向行走 $\text{[math]}$ 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 $\text{[math]}$ 处的所有不同走法共有（）

A . 22种 B . 24种 C . 25种 D . 27种

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二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分

9. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．如图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（）

A . 2015年第三季度环比有所降低 B . 2016年第一季度同比有所降低 C . 2017年第三季度同比有所提高 D . 2018年第一季度环比有所提高

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10. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 已知圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则（）

A . 圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均与圆 $\text{[math]}$ 相切 D . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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12. (2021·揭阳模拟) 如图，设正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设由点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成的平面为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体的截面可能是三角形 B . 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，平面 $\text{[math]}$ 截正方体的截面面积为 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离的最大值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时，平面 $\text{[math]}$ 截正方体的截面为五边形

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三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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14. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 到其准线的距离为4，圆 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 从上到下依次交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的最大值是3，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. “克拉茨猜想”又称“ $\text{[math]}$ 猜想”，是德国数学家洛萨．克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数ｎ，如果ｎ是偶数，就将它减半；如果ｎ为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数ｍ经过6次运算后得到1．则ｍ的值为．

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四、解答题(本题共6小题,共70分.

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是常数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式．若数列 $\text{[math]}$ 通项公式 $\text{[math]}$ ，将数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公共项按从小到大的顺序排列得到数列 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．
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18. 2020年底，因疫情影响，在上海打工的张某响应国家的号召，决定就地过年，他购买了四件礼物，重量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．张某欲将四件礼物随机分成两份，每份两件，寄给远在安徽老家的父母和孩子．已知某快递公司的收费标准为：首重9元，续重4元 $\text{[math]}$ （注：首重是 $\text{[math]}$ 以内（含 $\text{[math]}$ ，续重是指超过首重部分的重量，不足 $\text{[math]}$ 的按 $\text{[math]}$ 计算，如 $\text{[math]}$ 的按 $\text{[math]}$ 计算）．
1. （1）试分析求张某如何组合可使支付的邮寄费用最低，并求出最低费用；
2. （2）该快递公司对某一快递网点近100天揽件数量进行了统计（如图）．该公司从收取的每件快递的费用中抽取8元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．若前台工作人员每人每天揽件的上限是120件，工资是150元 $\text{[math]}$ 天．目前该网点前台有工作人员3人，公司准备将增加1名该网点的前台工作人员，请你根据以上信息，判断增加一名前台工作人员后对提高公司利润是否更有利？
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19. 如图，在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小．
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20. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正三角形， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）在平面 $\text{[math]}$ 内寻找一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

（Ⅱ）在第（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ 且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其长轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为椭圆上除 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 外的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线记为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点的轨迹方程，并探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比是否为定值．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 既是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$
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