湖南省郴州市2022届高三上学期数学第一次月考试卷

更新时间：2021-11-29 浏览次数：74 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2021高一上·沭阳期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高三上·郴州月考) 若复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高三上·郴州月考) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·鞍山模拟) 已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为 $\text{[math]}$ ，那么该圆锥的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021高三上·郴州月考) 食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法.压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低；浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用.我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨油的有芝麻油､花生油等，常见的采用浸出油的有油菜籽油，大豆油等.现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油､花生油､油菜籽油､大豆油，从中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是（）

A . “取出芝麻油”和“取出花生油” B . “取出浸出油”和“取出大豆油” C . “取出油菜籽油”和“取出大豆油” D . “取出压榨油”和“取出浸出油”

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6. (2021高三上·郴州月考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高三上·郴州月考) 已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，若 $\text{[math]}$ 的内切圆半径的最大值为 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高三上·郴州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最大值为3，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . 1 C . 0 D . 2

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二、多选题

9. (2021高三上·郴州月考) 给出下列命题，其中正确命题是（）

A . 若样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ （数据各不相同）的平均数为2，则样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 的平均数为3 B . 随机变量 $\text{[math]}$ 的方差为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用 $\text{[math]}$ 表示出现正面向上的次数，则 $\text{[math]}$

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10. (2021高三上·郴州月考) 如图，在直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 与 $\text{[math]}$ 共线的单位向量的坐标可以是 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$

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11. (2021高三上·郴州月考) 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$ B . 圆 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 轴截得的弦长为 $\text{[math]}$ C . 直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4 D . 直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4

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12. (2021高三上·郴州月考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成的角的大小随点 $\text{[math]}$ 的位置变化而变化 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是定值 C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值是 $\text{[math]}$ D . 三棱柱 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021高三上·郴州月考) 已知 $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是5，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2021高三上·郴州月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 的一条切线为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2021高三上·郴州月考) 边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形的一个顶点在原点，另外两个顶点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则线段 $\text{[math]}$ 的中点到抛物线的准线的距离为.

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16. (2021高三上·郴州月考) 依次将一数列的每相邻两项之积及原数列首尾项（仍为新数列的首尾项），构造新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，2，2；第2次得到数列1，2， $\text{[math]}$ ，2；第3次得到数列1，2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，2；依次构造，第 $\text{[math]}$ 次得到数列1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，2；记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. (2021高三上·郴州月考) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和 $\text{[math]}$ .
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18. (2021高三上·郴州月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积.
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19. (2021高三上·郴州月考) 东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区､国家风景名胜区､国家生态旅游示范区､国家森林公园､国家湿地公园､国家水利风景区“六位一体”的旅游区.境内主要景观有：雾漫小东江､东江大坝､龙景峡谷､兜率灵岩､东江漂流､三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆､摄影艺术馆､人文潇湘馆），还有仿古画舫､豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞､水上摩托等.东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色､禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”.每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有 $\text{[math]}$ 的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有 $\text{[math]}$ 的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望.

（1）根据以上统计数据，完成下列 $\text{[math]}$ 列联表，分析是否有 $\text{[math]}$ 把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？

	有“二次游”愿望	无“二次游”愿望	合计
青少年人
中老年人
合计

（2）从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

$\text{[math]}$

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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20. (2021高三上·郴州月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. (2021高三上·郴州月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的上､右､左顶点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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22. (2021高三上·郴州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为1，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ .
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