山东省青岛市2021年中考数学真题

更新时间：2022-03-14 浏览次数：455 类型：中考真卷

一、单选题

1. 剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（）

A . B . C . D .

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2. 下列各数为负分数的是（）

A . －1 B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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3. 如图所示的几何体，其左视图是（）

A . B . C . D .

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4. (2021七上·山亭期末) 2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫.5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，将线段 $\text{[math]}$ 先绕原点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，再向下平移4个单位，得到线段 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 画 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在四边形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将纸片折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A . B . C . D .

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二、填空题

9. 计算： $\text{[math]}$ ．

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10. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是．

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11. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间 $\text{[math]}$ 与行驶的平均速度 $\text{[math]}$ 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 $\text{[math]}$ 内到达，则速度至少需要提高到 $\text{[math]}$ ．

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12. 已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（填“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”）

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13. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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14. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为3， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题

15. 已知： $\text{[math]}$ 及其一边上的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
求作： $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部， $\text{[math]}$ ．

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16.
1. （1）计算： $\text{[math]}$ ；
2. （2）解不等式组： $\text{[math]}$ ，并写出它的整数解．
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17. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

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18. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 $\text{[math]}$ 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡 $\text{[math]}$ 的长是20米，坡角为 $\text{[math]}$ ，斜坡 $\text{[math]}$ 底部 $\text{[math]}$ 与大楼底端 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 为74米，与地面 $\text{[math]}$ 垂直的路灯 $\text{[math]}$ 的高度是3米，从楼顶 $\text{[math]}$ 测得路灯 $\text{[math]}$ 项端 $\text{[math]}$ 处的俯角是 $\text{[math]}$ ．试求大楼 $\text{[math]}$ 的高度．
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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19. 在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取 $\text{[math]}$ 名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用 $\text{[math]}$ 表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“ $\text{[math]}$ ”这组的数据如下：
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
$\text{[math]}$
8
65
2
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
75
3
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
88
4
$\text{[math]}$
10
95
请根据以上信息，解答下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） “ $\text{[math]}$ ”这组数据的众数是分；
3. （3）随机抽取的这 $\text{[math]}$ 名学生竞赛成绩的平均分是分；
4. （4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
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20. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 $\text{[math]}$ ．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
1. （1）求两种品牌洗衣液的进价；
2. （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
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21. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是什么特殊四边形？请说明理由．
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22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度 $\text{[math]}$ （米）与小钢球运动时间 $\text{[math]}$ （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 $\text{[math]}$ （米）与它的运动时间 $\text{[math]}$ （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
2. （2）求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
3. （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
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23. 问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

①如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为 $\text{[math]}$ ，有1个，所以总共有 $\text{[math]}$ 个整数边三角形．

表①

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
1	1	$\text{[math]}$	1	1个1	$\text{[math]}$

②如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为 $\text{[math]}$ ，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为 $\text{[math]}$ ，有1个，所以总共有 $\text{[math]}$ 个整数边三角形．

表②

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
2	1	$\text{[math]}$	1	2个1	$\text{[math]}$
2	2	$\text{[math]}$	1	2个1	$\text{[math]}$

③下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：

表③

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
3	1	$\text{[math]}$	1	2个2	$\text{[math]}$
	2	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	2
	3	$\text{[math]}$	1

④下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
4	1	$\text{[math]}$	1	3个2	$\text{[math]}$
	2	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	2
	3	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	2
	4	$\text{[math]}$	1

（1）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：

表⑤

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
5	1	$\text{[math]}$	1	.......	.......
	2	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	2
	3	......	......
	4	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	2
	5	$\text{[math]}$	1

（2）问题解决：
最长边长为6的整数边三角形有个．
（3）在整数边三角形中，设最长边长为 $\text{[math]}$ ，总结上述探究过程，当 $\text{[math]}$ 为奇数或 $\text{[math]}$ 为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为 $\text{[math]}$ 的整数边三角形的个数．
（4）最长边长为128的整数边三角形有个．
（5）拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个．

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24. 已知：如图，在矩形 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动．速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．
解答下列问题：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设五边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
4. （4）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．在运动过程中，是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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