广东省广州市八校联考2021-2022学年高一下学期数学期中...

更新时间：2022-04-27 浏览次数：108 类型：期中考试

一、单选题

1. (2022高一下·广州期中) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·西宁期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个平面，则 $\text{[math]}$ 的充要条件是（）

A . $\text{[math]}$ 内有无数条直线与 $\text{[math]}$ 平行 B . $\text{[math]}$ 内有两条相交直线与 $\text{[math]}$ 平行 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平行于同一条直线 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直于同一平面

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3. (2022高一下·广州期中) 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列说法不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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4. (2022高一下·广州期中) 已知 $\text{[math]}$ 外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高一下·广州期中) 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O， $\text{[math]}$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则点Z的集合为以 $\text{[math]}$ 为圆心，1为半径的圆 C . 若 $\text{[math]}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则点Z的集合中有且只有两个元素

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6. (2022高一下·广州期中) 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的形式，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高二下·玉林期中) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是纯虚数 C . 复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第二象限 D . 若复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在角 $\text{[math]}$ 的终边上，则 $\text{[math]}$

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8. (2022高一下·广州期中) 下列关于复数的命题中（其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），说法正确的是（）

A . 若复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的模相等，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是共轭复数 B . 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若关于x的方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）有实根，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，其中 $\text{[math]}$ 为实数，则 $\text{[math]}$

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9. (2022高一下·广州期中) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是平面向量， $\text{[math]}$ 是单位向量．若非零向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. (2022高一下·广州期中) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2022高一下·广州期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线），满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022高一下·广州期中) 设复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应向量 $\text{[math]}$ ，将向量 $\text{[math]}$ 绕原点O按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后得到向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

13. (2022高一下·广州期中) 下列说法正确的是（）

A . 在△ABC中，满足 $\text{[math]}$ 的三角形有两个 B . 在△ABC中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 在△ABC中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充要条件 D . 在△ABC中， $\text{[math]}$

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14. (2022高一下·广州期中) 已知i为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 复数z的模为 $\text{[math]}$ B . 复数z的共轭复数为 $\text{[math]}$ C . 复数z的虚部为 $\text{[math]}$ D . 复数z在复平面内对应的点在第一象限

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15. (2022高一下·广州期中) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的共轭复数在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ，且复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 在一条直线上 C . $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的轨迹上 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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16. (2022高一下·广州期中) 若不共线向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角恒为锐角 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2022高一下·广州期中) 如图，设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若点D是 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列说法中，正确的命题是（）

A . $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 一定是钝角三角形 C . 四边形ABCD面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . 四边形ABCD面积无最大值

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18. (2022高一下·广州期中) 意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程 $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 来替换，得到方程 $\text{[math]}$ ；
第二步，利用公式 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 因式分解；
第三步，求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一组值，得到方程 $\text{[math]}$ 的三个根： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位）；
第四步，写出方程 $\text{[math]}$ 的根： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
某同学利用上述方法解方程 $\text{[math]}$ 时，得到 $\text{[math]}$ 的一个值： $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

19. (2022高一下·广州期中) 设 $\text{[math]}$ 是平面内一组基向量，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 可以表示为以 $\text{[math]}$ 为基向量的线性组合，即 $\text{[math]}$ ＝.

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20. (2022高一下·广州期中) 下列说法正确的序号为．
①若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为实数；
④复数 $\text{[math]}$ 的虚部是1．

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21. (2022高一下·广州期中) 已知锐角 $\text{[math]}$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是．

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22. (2024高二上·邵阳期末) 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为 $\text{[math]}$ ，并称其为双曲余弦函数．若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数m的取值范围为．

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23. (2022高一下·广州期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ， a=2，⊙O为△ABC的外接圆， $\text{[math]}$ .
1. （1）若m=n=1，则 $\text{[math]}$ .
2. （2）若m， $\text{[math]}$ ，则点P的轨迹所对应图形的面积为.
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24. (2022高一下·广州期中) 2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱 $\text{[math]}$ 为一“堑堵”， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则在过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于，该“堑堵”的外接球的表面积为.

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四、解答题

25. (2022高一下·安徽期中) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位）
1. （1）若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数为 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的模．
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26. (2022高一下·广州期中) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，z²的虚部为2.
1. （1）求复数z；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.
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27. (2022高一下·广州期中) 南京是我国著名的“火炉”城市之一，如图，南京某公园𝑂为吸引游客，准备在门前两条夹角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为|AB|且落在小路上，要求弦长 $\text{[math]}$ ，记弓形花园的顶点为M，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .
1. （1）将OA，OB用含有 $\text{[math]}$ 的关系式表示出来；
2. （2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，请求出喷泉M与山庄O距离 $\text{[math]}$ 的最大值，并求出此时OA，OB的长度.
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28. (2022高一下·广州期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，O为坐标原点，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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29. (2022高一下·广州期中) 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且满足____.
1. （1）求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的高.
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30. (2022高一下·广州期中) 如果对于三个数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数” $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如果函数 $\text{[math]}$ 使得三个数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 仍为“三角形数”，则称 $\text{[math]}$ 为“保三角形函数”.
1. （1）对于“三角形数” $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 是否是“保三角形函数”，并说明理由；
2. （2）对于“三角形数” $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 是否是“保三角形函数”，并说明理由.
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