湖南省郴州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-08-08 浏览次数：78 类型：期末考试

一、单选题

1. (2022高一下·郴州期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 3i B . $\text{[math]}$ C . 3 D . -3

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2. (2022高一下·郴州期末) 某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）

A . 10 B . 15 C . 20 D . 25

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3. (2022高一下·郴州期末) 底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 12π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高一下·郴州期末) 若向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 0或1

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5. (2022高一下·郴州期末) △ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高一下·郴州期末) 在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，M为棱CC₁的中点，则异面直线AM与C₁D₁所成角的正切值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高一下·郴州期末) 《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高一下·郴州期末) 如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 16 B . 17 C . 18 D . 19

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二、多选题

9. (2022高一下·郴州期末) 下列命题不正确的是（）

A . 三点确定一个平面 B . 两条相交直线确定一个平面 C . 一条直线和一点确定一个平面 D . 两条平行直线确定一个平面

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10. (2022高一下·郴州期末) 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . z的实部为1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2022高一下·郴州期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022高一下·郴州期末) 如图，在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，点P在线段BC₁上运动时，下列命题正确的是（）

A . 三棱锥A−D₁PC的体积不变 B . 直线CP与直线AD₁的所成角的取值范围为 $\text{[math]}$ C . 直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变 D . 二面角P−AD₁−C的大小不变

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三、填空题

13. (2022高一下·郴州期末) 一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为．

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14. (2022高一下·郴州期末) 已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝ $\text{[math]}$ ，事件B发生的P（B）＝ $\text{[math]}$ ，则事件A、B都不发生的概率是．

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15. (2022高一下·郴州期末) 如图，为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝米．

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16. (2022高一下·郴州期末) 已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝ $\text{[math]}$ ， AC＋BC＝2．则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为．

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四、解答题

17. (2022高一下·郴州期末) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\text{[math]}$ （3， $\text{[math]}$ ）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ．
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18. (2022高一下·郴州期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.
1. （1）求证：EF∥平面PBC；
2. （2）求证：平面PBD⊥平面PAC．
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19. (2024高一下·湖南期末) 我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第2组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第3组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第4组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第5组 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
1. （1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
2. （2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
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20. (2022高一下·郴州期末) 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角A；
2. （2）从两个条件：① $\text{[math]}$ ；②△ABC的面积为 $\text{[math]}$ 中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
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21. (2022高一下·郴州期末) 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形， $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将它沿对称轴OO₁折叠，使二面角A−OO₁−B为直二面角．
1. （1）证明：AC⊥BO₁；
2. （2）求二面角O−AC−O₁的正弦值．
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22. (2022高一下·郴州期末) 已知O为坐标原点，对于函数 $\text{[math]}$ ，称向量 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的伴随向量，同时称函数 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 的伴随函数.
1. （1）设函数 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的伴随向量 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记向量 $\text{[math]}$ 的伴随函数为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）由（1）中函数 $\text{[math]}$ 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到 $\text{[math]}$ 的图象，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问在 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
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