北京市房山区2023届高三数学8月开学测试试卷

更新时间：2022-09-30 浏览次数：63 类型：开学考试

一、单选题

1. (2022高三上·房山开学考) 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·房山开学考) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高三上·房山开学考) 若直线 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的一条对称轴，则m的值为（）

A . -1 B . 1 C . -2 D . 2

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4. (2022高三上·房山开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则对任意正实数 $\text{[math]}$ 恒成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高三上·房山开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

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6. (2022高三上·房山开学考) 设 $\text{[math]}$ 是公比不为1的无穷等比数列，则“ $\text{[math]}$ 为递减数列”是“存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2022高三上·房山开学考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 24 C . -6 D . -24

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8. (2022高三上·房山开学考) 如图，某池塘里浮萍的面积 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与时间 $\text{[math]}$ （单位：月）的关系为 $\text{[math]}$ ．则下列说法中正确的是（）

A . 第5个月时，浮萍面积就会超过 $\text{[math]}$ B . 浮萍每月增加的面积都相等 C . 浮萍面积每月的增长率都相等
（注：浮萍面积每月增长率= $\text{[math]}$ ）
D . 若浮萍面积为 $\text{[math]}$ 时所对应的时间分别是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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9. (2022高三上·房山开学考) 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，S是正方体内部及表面上的点构成的集合，设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示的区域的面积为（）

A . 4π B . 2π C . π D . $\text{[math]}$

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10. (2022高三上·房山开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的直径，若点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2022高三上·房山开学考) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是.

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12. (2023高二上·钦州期末) 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2022高三上·房山开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意实数x都成立，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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14. (2024高三上·北京市月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ 的第2项小于1； ② $\text{[math]}$ 为常数列；
③ $\text{[math]}$ 为递增数列； ④ $\text{[math]}$ 中存在小于 $\text{[math]}$ 的项．
其中所有正确结论的序号是．

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15. (2022高三上·房山开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的增函数，则a的取值范围是； $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题

16. (2022高三上·房山开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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17. (2022高三上·房山开学考) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 中点，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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18. (2022高三上·房山开学考) 某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为 $\text{[math]}$ ；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若走甲路线，求该人恰好遇到1个红灯的概率；
2. （2）若走乙路线，求该人在上班途中因遇红灯停留总时间X的分布列和期望；
3. （3）若只考虑路口遇到红灯停留总时间最少，该人选择甲路线还是乙路线？（只写出结论）
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19. (2022高三上·房山开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在唯一的极大值点．
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20. (2022高三上·房山开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ 离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2） M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线记为l，直线 $\text{[math]}$ 交y轴于点P，交直线l于点Q，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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21. (2022高三上·房山开学考) 设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个等差数列，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 这s个数中最小的数．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 是等差数列；
3. （3）证明：或者对任意实数 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；或者存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是等差数列．
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