河北省秦皇岛市部分学校2023届高三上学期数学开学摸底试卷

更新时间：2022-09-30 浏览次数：31 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 命题“ $\text{[math]}$ ”的否定为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A：出现的点数为质数，事件B：出现的点数不小于3，则事件A与事件B（）

A . 相互独立 B . 对立 C . 互斥但不对立 D . 概率相等

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边在射线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -3 D . $\text{[math]}$

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6. 如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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7. 若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . 4 B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的最小值为（）

A . e B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为其定义域上的增函数 B . $\text{[math]}$ 为偶函数 C . $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 相切 D . $\text{[math]}$ 有唯一的零点

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10. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为 $\text{[math]}$ ．甲统计员得到的回归方程为 $\text{[math]}$ ；乙统计员得到的回归方程为 $\text{[math]}$ ；若甲、乙二人计算均未出现错误，则以下结论正确的为（）

A . 当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取 $\text{[math]}$ ） B . $\text{[math]}$ C . 方程 $\text{[math]}$ 比方程 $\text{[math]}$ 拟合效果好 D . y与x正相关

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11. 将函数 $\text{[math]}$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若对任意的 $\text{[math]}$ ，均 $\text{[math]}$ 成立，且 $\text{[math]}$ 相邻的两个最小值点间的距离为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . 对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ 成立

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 斜率的乘积为1，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 双曲线C的离心率为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 倾斜角的取值范围为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则三角形 $\text{[math]}$ 的面积为2

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三、填空题

13. 若复数z满足 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），且z为实数，则实数a的值为．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立；② $\text{[math]}$ ．请写出一个符合上述两个条件的函数 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ．

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16. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ ，点M为 $\text{[math]}$ 的垂心，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知a，b，c为 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对的边，向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角C
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， M，N分别为线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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20. “斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 $\text{[math]}$ ，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 $\text{[math]}$ ，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．
1. （1）求甲以3∶1赢得比赛的概率；
2. （2）设比赛的总局数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线l与直线 $\text{[math]}$ 平行，求切线l的方程；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时，对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立．
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