北京市昌平区2023届高三上学期数学期末质量检测试卷

更新时间：2023-01-29 浏览次数：47 类型：期末考试

一、单选题

1. (2023高三上·昌平期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·延庆月考) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点的坐标是 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·延庆月考) 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三上·昌平期末) 若 $\text{[math]}$ ，则一定有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三上·昌平期末) 已知二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是10，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. (2023高三上·昌平期末) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·昌平期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 与角 $\text{[math]}$ 均以 $\text{[math]}$ 为始边，则“角 $\text{[math]}$ 与角 $\text{[math]}$ 的终边关于 $\text{[math]}$ 轴对称”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2023高三上·昌平期末) 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（）

A . 16 B . 18 C . 20 D . 22

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9. (2023高三上·昌平期末) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ .斜率为 $\text{[math]}$ 的直线经过焦点 $\text{[math]}$ ，交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交准线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的两侧）.若 $\text{[math]}$ ，则抛物线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·昌平期末) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023高三上·昌平期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为.

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12. (2023高三上·昌平期末) 若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 有公共点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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13. (2023高三上·昌平期末) 已知正三棱锥 $\text{[math]}$ 的六条棱长均为 $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点（不与顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）.
给出下列四个结论：
①三棱锥 $\text{[math]}$ 为正三棱锥；
②三棱锥 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ ；
③三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积既有最大值，又有最小值；
④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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14. (2023高三上·昌平期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2023高三上·昌平期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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三、解答题

16. (2023高三上·昌平期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，
条件①：函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ；
条件②：函数 $\text{[math]}$ 的图象可由函数 $\text{[math]}$ 的图象平移得到；
条件③：函数 $\text{[math]}$ 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 $\text{[math]}$ .
注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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17. (2023高三上·昌平期末) 不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：

		检测结果
序号	品牌名称	不粘性	耐磨性
1	品牌1	Ⅰ级	Ⅰ级
2	品牌2	Ⅱ级	Ⅰ级
3	品牌3	Ⅰ级	Ⅰ级
4	品牌4	Ⅱ级	Ⅱ级
5	品牌5	Ⅰ级	Ⅰ级
6	品牌6	Ⅱ级	Ⅰ级
7	品牌7	Ⅰ级	Ⅰ级
8	品牌8	Ⅰ级	Ⅰ级
9	品牌9	Ⅱ级	Ⅱ级
10	品牌10	Ⅱ级	Ⅱ级
11	品牌11	Ⅱ级	Ⅱ级
12	品牌12	Ⅱ级	Ⅱ级

（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）

（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率；
（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设 $\text{[math]}$ 为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量 $\text{[math]}$ 和随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望的大小（结论不要求证明）.

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18. (2023高三上·昌平期末) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
3. （3）求直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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19. (2023高三上·昌平期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率是 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程和短轴长；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与椭圆 $\text{[math]}$ 有两个不同的交点 $\text{[math]}$ ，问：是否存在直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以点 $\text{[math]}$ 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，说明理由.
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20. (2023高三上·昌平期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，证明：对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立.
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21. (2023高三上·昌平期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .记集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出集合 $\text{[math]}$ 的所有元素；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $\text{[math]}$ 的所有元素都是3的倍数；
3. （3）求集合 $\text{[math]}$ 的元素个数的最大值.
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