山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

更新时间：2023-02-16 浏览次数：52 类型：期末考试

一、单选题

1. (2023高三上·烟台期末) 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·烟台期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”的一个充分不必要条件为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三上·烟台期末) 过点 $\text{[math]}$ 且与曲线 $\text{[math]}$ 相切的直线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三上·烟台期末) 米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重 $\text{[math]}$ 千克，则该米斗盛装大米约（）

A . $\text{[math]}$ 千克 B . $\text{[math]}$ 千克 C . $\text{[math]}$ 千克 D . $\text{[math]}$ 千克

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5. (2023高三上·烟台期末) 设 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点和上顶点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的右焦点，若 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·烟台期末) 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·烟台期末) 过直线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的横坐标为（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·烟台期末) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 为偶函数，且 $\text{[math]}$ ；函数 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的所有零点之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高三上·烟台期末) 如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为60° D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·烟台期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上无零点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. (2023高三上·烟台期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023高三上·烟台期末) 已知过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 的准线于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 点在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为坐标原点，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高三上·烟台期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023高三上·烟台期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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15. (2023高三上·烟台期末) “0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设 $\text{[math]}$ 是一个“0，1数列”，定义数列 $\text{[math]}$ ：数列 $\text{[math]}$ 中每个0都变为“1，0，1”， $\text{[math]}$ 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列 $\text{[math]}$ ：1，0，则数列 $\text{[math]}$ ：0，1，0，1，0，1.已知数列 $\text{[math]}$ ：1，0，1，0，1，记数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 2，3，…，则数列 $\text{[math]}$ 的所有项之和为.

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16. (2023高三上·烟台期末) 在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在侧面矩形 $\text{[math]}$ 内（异于点 $\text{[math]}$ ），则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为.

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四、解答题

17. (2023高三上·烟台期末) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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18. (2023高三上·烟台期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的各项均不为零， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. (2023高三上·烟台期末) 如图， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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20. (2023高三上·烟台期末) 某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为 $\text{[math]}$ 立方米，且 $\text{[math]}$ .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为 $\text{[math]}$ 千元.设该容器的建造费用为 $\text{[math]}$ 千元.
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并求该函数的定义域；
2. （2）求该容器的建造费用最小时的 $\text{[math]}$ .
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21. (2023高三上·烟台期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的左、右顶点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的任意一点，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 且斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在一定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求定点 $\text{[math]}$ 的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.
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22. (2023高三上·烟台期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数.
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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