重庆市2023届高三下学期数学开学摸底试卷

更新时间：2023-02-28 浏览次数：64 类型：开学考试

一、单选题

1. (2023高三下·重庆市开学考) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三下·重庆市开学考) 复数z在复平面内对应的点的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三下·重庆市开学考) 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致是（）

A . B . C . D .

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4. (2023高三下·重庆市开学考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是直角三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三下·重庆市开学考) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 满足 $\text{[math]}$ 的最大自然数 $\text{[math]}$ 的值为25

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6. (2023高三下·重庆市开学考) 从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三下·重庆市开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的零点个数是（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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8. (2023高三下·重庆市开学考) 已知两条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有一动圆（圆心和半径都在变动）与 $\text{[math]}$ 都相交，并且 $\text{[math]}$ 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高三上·牡丹江开学考) 下列命题中，正确的命题是（）

A . 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 $\text{[math]}$ 分位数是7 B . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若事件A，B满足 $\text{[math]}$ ，则A与B独立 D . 若随机变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2023高三下·重庆市开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增 C . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值是1

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11. (2023高三下·重庆市开学考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）

A . 若O为线段 $\text{[math]}$ 中点，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 存在直线l，使得 $\text{[math]}$ D . △PFO面积的最小值为2

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12. 定义：在区间 $\text{[math]}$ 上，若函数 $\text{[math]}$ 是减函数，且 $\text{[math]}$ 是增函数，则称 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是“弱减函数”.根据定义可得（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“弱减函数” B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“弱减函数” C . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“弱减函数”，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“弱减函数”，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高三下·重庆市开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023高三下·重庆市开学考) 将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有 $\text{[math]}$ 种不同的放法，则在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 项的系数为．

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15. (2023高三下·重庆市开学考) 《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； $\text{[math]}$ 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 $\text{[math]}$ ．若在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为．

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16. (2023高三下·重庆市开学考) 定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点， $\text{[math]}$ ，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为.

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四、解答题

17. (2023高三下·重庆市开学考) 如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角B的大小；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
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18. (2023高三下·重庆市开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是等差数列；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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19. (2023高三下·重庆市开学考) 如图1，在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ，如图2所示.
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与端点重合），使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，请说明理由.
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20. (2023高三下·重庆市开学考) 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中： $\text{[math]}$ ），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m
150≤m<350
100≤m<150或350≤m≤400
等级
A级
B级
1. （1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的 $\text{[math]}$ 分位数；
2. （2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
3. （3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
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21. (2023高三下·重庆市开学考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，点 $\text{[math]}$ 在E上．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2） O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线 $\text{[math]}$ 上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．试探究： $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
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22. (2023高三下·重庆市开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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