北京市丰台区2023届高三下学期数学3月一模试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：62 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·丰台模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·丰台模拟) 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·丰台模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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4. (2023·丰台模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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5. (2023·丰台模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若角 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个可能取值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·丰台模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则该三角形的形状一定是（）

A . 等腰三角形 B . 等边三角形 C . 直角三角形 D . 等腰直角三角形

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7. (2023·丰台模拟) 设无穷等差数列| $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则“对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ”是“数列 $\text{[math]}$ 为递增数列”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2023·丰台模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. (2023·丰台模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则t的最小值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. (2023·丰台模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
③点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为 $\text{[math]}$ ．
其中所有正确结论的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

11. (2023·丰台模拟) 若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2023·丰台模拟) 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2023·丰台模拟) 从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数中任取 $\text{[math]}$ 个不同的数，记“两数之积为正数”为事件 $\text{[math]}$ ， “两数均为负数为事件 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023·丰台模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．

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15. (2023·丰台模拟) 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则 $\text{[math]}$ ．
①双曲线H的离心率为；
②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， CE交AB于点P，则 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

16. (2023·丰台模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值．
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17. (2023·丰台模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面PCD；
2. （2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．
  条件①：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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18. (2023·丰台模拟) 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为： $\text{[math]}$ ，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
1. （1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
2. （2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为 $\text{[math]}$ ，将2022年同期TPI依次记为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值．
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19. (2023·丰台模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点为 $\text{[math]}$ ，焦距为2．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线 $\text{[math]}$ 的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问：是否存在常数t，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
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20. (2023·丰台模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个不相等的零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  （i）求a的取值范围；
  （ii）证明： $\text{[math]}$ ．
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21. (2023·丰台模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，对于集合 $\text{[math]}$ 的非空子集 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 中存在三个互不相同的元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均属于 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”．
1. （1）试判断集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否为集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
2. （2）如果一个集合中含有三个元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，同时满足① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 为偶数．那么称该集合具有性质 $\text{[math]}$ ．对于集合 $\text{[math]}$ 的非空子集 $\text{[math]}$ ，证明：集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”的充要条件是集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 的任意含有 $\text{[math]}$ 个元素的子集都是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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