安徽省黄山市2023届高三数学第二次质量检测试卷

更新时间：2023-05-18 浏览次数：45 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·黄山模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·黄山模拟) 复数 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 8

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3. (2023·黄山模拟) “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 平行”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2023·黄山模拟) 《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 $\text{[math]}$ 个面包分给 $\text{[math]}$ 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间一份面包的个数为（）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 20

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5. (2023·黄山模拟) 先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“ $\text{[math]}$ 为奇数”，事件B=“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ”，则概率 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·黄山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则使不等式 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·黄山模拟) 如图1，将一块边长为20的正方形纸片 $\text{[math]}$ 剪去四个全等的等腰三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 重合于点 $\text{[math]}$ ，如图2.则正四棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·黄山模拟) 已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023·黄山模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，点 $\text{[math]}$ 是圆周上的动点， $\text{[math]}$ 是直径 $\text{[math]}$ 上关于圆心 $\text{[math]}$ 对称的两点，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、单选题

10. (2023·黄山模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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四、多选题

11. (2023·黄山模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左，右焦点， $\text{[math]}$ 分别是椭圆的左，右顶点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则这样的点 $\text{[math]}$ 有4个 C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率乘积为定值 $\text{[math]}$ D . 椭圆C内接矩形的周长取值范围是 $\text{[math]}$

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12. (2023·黄山模拟) 如图，圆柱 $\text{[math]}$ 的底面半径和母线长均为 $\text{[math]}$ 是底面直径，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在母线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是上底面的一个动点，则（）

A . 存在唯一的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长为4 C . 若 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长为 $\text{[math]}$

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五、填空题

13. (2023·黄山模拟) $\text{[math]}$ 的展开式中所有不含字母 $\text{[math]}$ 的项的系数之和为.

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14. (2023·黄山模拟) 如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，依次构成数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2023·黄山模拟) 设双曲线 $\text{[math]}$ ，其右焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作双曲线一条浙近线的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，且与另一条浙近线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心离为.

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16. (2023·黄山模拟) 黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $\text{[math]}$ 上，其解析式如下： $\text{[math]}$ ，定义在实数集上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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六、解答题

17. (2023·黄山模拟) 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $\text{[math]}$ 分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
60
75
高二
63
$\text{[math]}$
高三
55
1. （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数；
2. （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数 $\text{[math]}$ ，和高二年级学生成绩的方差 $\text{[math]}$ .
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18. (2023·黄山模拟) $\text{[math]}$ 的三内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上动点，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 中点，记 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ .
2. （2）当 $\text{[math]}$ 长为何值时，从点 $\text{[math]}$ 处看线段 $\text{[math]}$ 的视角（即 $\text{[math]}$ ）最大？
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19. (2023·黄山模拟) 如图四棱锥 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角的等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 四点共面；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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20. (2023·黄山模拟) 数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，不考虑其它因素的影响．
1. （1）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，并求实数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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21. (2023·黄山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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22. (2023·黄山模拟) 已知拋物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为焦点，若圆 $\text{[math]}$ 与拋物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，且过点 $\text{[math]}$ 可以作拋物线 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ，切点分别为 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 恒为定值.
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