四川省德阳市2023届高三理数下学期4月三诊考试试卷

更新时间：2023-05-16 浏览次数：51 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·德阳模拟) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ （i是虚数单位）对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2023·德阳模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高一下·惠州期中) 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A . m∥l B . m∥n C . n⊥l D . m⊥n

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4. (2023·德阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， q：任意 $\text{[math]}$ ，则p是q成立的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2023·德阳模拟) 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 $\text{[math]}$ 低于均衡价格 $\text{[math]}$ 时，需求量大于供应量，价格会上升为 $\text{[math]}$ ；当产品价格 $\text{[math]}$ 高于均衡价格 $\text{[math]}$ 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格 $\text{[math]}$ ．能正确表示上述供求关系的图形是（）．

A . B . C . D .

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6. (2023·德阳模拟) 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把 $\text{[math]}$ 折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 不确定的实数

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7. (2023·德阳模拟) 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，其中 $\text{[math]}$ 两点之间的距离为5，则 $\text{[math]}$ 的递增区间是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·德阳模拟) 设x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . -3 B . -6 C . -7 D . 12

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9. (2023·德阳模拟) 已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且 $\text{[math]}$ ，若AD与BE交于M，若 $\text{[math]}$ ，则正三角形ABC的边长为（）

A . 6 B . 12 C . 18 D . 24

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10. (2023·德阳模拟) 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $\text{[math]}$ ，若将军从点 $\text{[math]}$ 处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

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11. (2023·德阳模拟) 已知实数x、y满足 $\text{[math]}$ ，则x、y的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023·德阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点， $\text{[math]}$ ，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、填空题

13. (2023·德阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中x的系数为2，则实数a的值为．

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14. (2023·德阳模拟) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，又知点 $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$

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15. (2023·德阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的外接圆O的半径为1， $\text{[math]}$ ．从圆O内随机取一点M，若点M在 $\text{[math]}$ 内的概率恰为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为．

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16. (2023·德阳模拟) 如图所示，一个正四棱锥 $\text{[math]}$ 和一个正三棱锥 $\text{[math]}$ 所有棱长都相等，F为棱 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别对应重合为P，B，C得到一个组合体．关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②直线AD与直线SF所成角为60°；③ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是．

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三、解答题

17. (2023·德阳模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．数列 $\text{[math]}$ 的前n项和是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 及数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·德阳模拟) 某学校高二年级某学科的教师决定帮助本年级100名对该科学习困难的学生.为了做到精准帮助，教师对这100名学生的学习兴趣、学习态度、学习习惯等进行调查，并把调查结果转化为各学生的学困指标x，将指标x分成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若 $\text{[math]}$ ，则认定该生为“绝对学困生”，否则认定该生为“相对学困生”；当 $\text{[math]}$ 时，认定该生为“亟待帮助生”.
1. （1）分别求出“绝对学困生”，“亟待帮助生”的人数；并求学困指标的平均值.
2. （2）在学困指标处于 $\text{[math]}$ 内的学困生中，随机选取两名，用X表示所选两名学生中“亟待帮助生”的人数，求X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .
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19. (2023·德阳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P为AB边上一动点， $\text{[math]}$ 交AC于点D，现将 $\text{[math]}$ 沿PD翻折至 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 沿PD翻折中是否会改变二面角 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由；
2. （2）若PB=CB=2PD=2，E是 $\text{[math]}$ 的中点．求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并求当平面 $\text{[math]}$ 平面PBCD时，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. (2023·德阳模拟) 已知椭圆： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是其左、右焦点，若 $\text{[math]}$ 是椭圆上的右顶点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），问直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
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21. (2023·德阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率均不小于2．
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内存在唯一的零点；
2. （2）当x>0时，设函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中的较小者，求使 $\text{[math]}$ 恒成立的k的最小整数值．
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22. (2023·德阳模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为 $\text{[math]}$ ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求圆C的直角坐标方程；
2. （2）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. (2023·德阳模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，如果 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．
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