四川省内江市2023届高三理数第三次模拟考试试卷

更新时间：2023-05-17 浏览次数：65 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·内江模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的共轭复数，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·内江模拟) 已知全集 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·内江模拟) 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14．日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（）

A . 从2日到5日空气质量越来越差 B . 这14天中空气质量指数的中位数是214 C . 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日 D . 这14天中空气质量指数的平均数约为189

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4. (2023·内江模拟) 我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. (2023·内江模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的部分图像大致为（）

A . B . C . D .

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6. (2023·内江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有相同的极大值，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 0 C . -3 D . -1

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7. (2023·内江模拟) 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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8. (2023·内江模拟) 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $\text{[math]}$ 的长）为14米，则表高（即 $\text{[math]}$ 的长）约为（）（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 9.27米 B . 9.33米 C . 9.45米 D . 9.51米

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9. (2023·内江模拟) 已知圆锥的母线长为2，侧面积为 $\text{[math]}$ ，则过顶点的截面面积的最大值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 2

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10. (2023·内江模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 上有不同的三点A、B、P，且A、B关于原点对称，直线PA、PB的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则离心率 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·内江模拟) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个单调递增区间，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有5个零点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 5 C . 9 D . 13

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12. (2023·内江模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2023·内江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影为.

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14. (2023·内江模拟) 若 $\text{[math]}$ 的展开式的各项系数和为32，则该展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是.

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15. (2024高二下·平果期中) 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 $\text{[math]}$ ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 $\text{[math]}$ ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为．

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16. (2023·内江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是圆O： $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. (2023·内江模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式．
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·内江模拟) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．
1. （1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；
2. （2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．
3. （3）记乙型号电视机销售量的方差为 $\text{[math]}$ ，根据茎叶图推断a与b分别取何值时， $\text{[math]}$ 达到最小值．（只需写出结论）
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19. (2023·内江模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （如图1），沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，使 $\text{[math]}$ （如图2），点 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在①图1中 $\text{[math]}$ ， ②图1中 $\text{[math]}$ ， ③图2中三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大.
  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.
  问题：已知，试在棱 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，并求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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20. (2023·内江模拟) 若存在实数k，b，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对其定义域上的任意实数x同时满足： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称直线： $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“隔离直线”.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中e为自然对数的底数）.试问：
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由.
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21. (2023·内江模拟) 如图，曲线 $\text{[math]}$ 是以原点 $\text{[math]}$ 为中心， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆的一部分，曲线 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为顶点、 $\text{[math]}$ 为焦点的抛物线的一部分， $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的一个交点，且 $\text{[math]}$ 为钝角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所在椭圆和抛物线的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 作一条与 $\text{[math]}$ 轴不垂直的直线，分别和曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
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22. (2023·内江模拟) 在平面直角坐标系中，将曲线 $\text{[math]}$ 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ 得到曲线 $\text{[math]}$ ，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 在第一象限，四边形 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的内接矩形，求内接矩形 $\text{[math]}$ 周长的最大值，并求周长最大时点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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23. (2023·内江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围．
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