2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法...

∵x²+3xy+2y²＝（x+y）（x+2y）．

设x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．

比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．

∴x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．

解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x²﹣21xy﹣11y²﹣x+34y﹣3＝．

但小白在学习中发现，对于 还可以使用以下方法分解因式.

.

这种在二次三项式 中先加上9，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了.

探究问题：如图1所示，设 ， 为常数，由面积相等可得： ， 将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即 ． 观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．

解决问题：

运用结论：

1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．

例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即

令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．

关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：

观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．

令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，得 ，从而

此时，不难发现 x= 1 是方程  的一个根．

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：