黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

更新时间：2023-12-29 浏览次数：100 类型：期末考试

一、单选题

1. (2023高一下·哈尔滨期末) 若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数a的值是（）

A . 1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高一下·哈尔滨期末) 某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（）

A . 150 B . 130 C . 120 D . 100

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3. (2023高一下·哈尔滨期末) （理科）在正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为棱BC和棱 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）

A . 90° B . 60° C . 45° D . 30°

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4. (2023高一下·哈尔滨期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不共线的向量，若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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5. (2023高一下·哈尔滨期末) 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（）

A . “大于3点”与“不大于3点” B . “大于3点”与“小于2点” C . “大于3点”与“小于4点” D . “大于3点”与“小于5点”

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6. (2023高一下·哈尔滨期末) 已知三个不同的平面 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2023高一下·哈尔滨期末) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为钝角，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$

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8. (2023高一下·哈尔滨期末) 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状一定是（）

A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等边三角形 D . 等腰或直角三角形

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二、多选题

9. (2023高一下·哈尔滨期末) 下列各复数中，模长为1的有（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高一下·哈尔滨期末) 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的值为0.05 B . 估计成绩低于60分的有25人 C . 估计这组数据的众数为75 D . 估计这组数据的第85百分位数为86

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11. (2023高一下·哈尔滨期末) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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12. (2023高一下·哈尔滨期末) 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥 $\text{[math]}$ ．设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点．下列说法正确的是（）

A . 存在某个位置，使 $\text{[math]}$ B . 存在某个位置，使 $\text{[math]}$ C . 当三棱锥 $\text{[math]}$ 体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为 $\text{[math]}$ D . 当AB＝AD时，CM+FM的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高一下·哈尔滨期末) 某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为.

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14. (2023高一下·哈尔滨期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2023高一下·哈尔滨期末) 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东 $\text{[math]}$ ，距离 $\text{[math]}$ 海里，灯塔C在A的北偏西 $\text{[math]}$ ，距离为 $\text{[math]}$ 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东 $\text{[math]}$ 方向，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023高一下·哈尔滨期末) 四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，CD=BC=2，若二面角A-CD-B的大小为60°，则四面体ABCD的外接球的体积为．

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四、解答题

17. (2023高一下·哈尔滨期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2023高一下·哈尔滨期末) 某小区所有248户家庭人口数分组表示如下：
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
家庭数
21
29
49
50
46
35
18
1. （1）求该小区家庭人口数的中位数；
2. （2）求该小区家庭人口数的方差.（精确到0.1）
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19. (2023高一下·哈尔滨期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求a的最小值.
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20. (2023高一下·哈尔滨期末) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D，E分别是棱 $\text{[math]}$ ， AC的中点．
1. （1）判断多面体 $\text{[math]}$ 是否为棱柱并说明理由；
2. （2）求多面体 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面AB₁D．
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21. (2023高一下·哈尔滨期末) 一只口袋里有形状、大小、质地都相同的4个小球，这4个小球上分别标记着数字1，2，3，4．甲、乙、丙三名学生约定：
（i）每人不放回地随机摸取一个球；
（ii）按照甲、乙、丙的次序依次摸取；
（iii）谁摸取的球的数字最大，谁就获胜．
用有序数组 $\text{[math]}$ 表示这个试验的基本事件，例如： $\text{[math]}$ 表示在一次试验中，甲摸取的球的数字是1，乙摸取的球的数字是4，丙摸取的球的数字是3．
1. （1）列出样本空间，并指出样本空间中样本点的总数；
2. （2）求甲获胜的概率；
3. （3）写出乙获胜的概率，并指出甲、乙、丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关．
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22. (2023高一下·哈尔滨期末) 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝PD＝2， $\text{[math]}$ ， O是AD的中点，PO⊥平面ABCD．
1. （1）求证：AC⊥平面POB；
2. （2）设平面PAB与平面PCD的交线为l．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②求l与平面PAC所成角的大小．
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