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【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的...

更新时间：2023-08-17 浏览次数：19 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2012·福建) 函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁ ， x₂∈[a，b]，有 $\text{[math]}$ 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在[1， $\text{[math]}$ ]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄∈[1，3]，有 $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命题的序号是（）

A . ①② B . ①③ C . ②④ D . ③④

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2. (2022·广东模拟) 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处连续是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处可导的（）．

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2020·安徽模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高三上·茂名月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数，且对于任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 成立，若 $\text{[math]}$ ，则下列结论成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2019高一上·兰州期中) 若对于定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，其图象是连续不断的，且存在常数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 都成立，则称 $\text{[math]}$ 是一个“ $\text{[math]}$ 特征函数”．下列结论中正确的个数为（）
① $\text{[math]}$ 是常数函数中唯一的“ $\text{[math]}$ 特征函数”；

② $\text{[math]}$ 不是“ $\text{[math]}$ 特征函数”；

③“ $\text{[math]}$ 特征函数”至少有一个零点；

④ $\text{[math]}$ 是一个“ $\text{[math]}$ 特征函数”．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. (2019高一上·大名月考) 函数f(x)＝3^x＋ $\text{[math]}$ x－2的零点所在的一个区间是（）

A . (－2，－1) B . (－1，0) C . (0，1) D . (1，2)

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7. (2019高一上·乌拉特前旗月考) 若函数 $\text{[math]}$ 在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . [1,2] C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2019高三上·蚌埠月考) 已知函数 f（x）=asinx+cosx ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2016高一上·佛山期中) 已知定义在[﹣2，1]上的某连续函数y=f（x）部分函数值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
f（x）
﹣1.5
﹣1
0.8
2
有同学仅根据表中数据作出了下列论断：
①函数y=f（x）在[﹣2，1]上单调递增； ②函数y=f（x）在[﹣2，1]上恰有一个零点；
③方程f（x）=0在[﹣2，﹣1]上必无实根．④方程f（x）﹣1=0必有实根．
其中正确的论断个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 在x=1处连续，则a的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 4 D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 在x=1处连续，则a+b=（　　）

A . 1 B . -1 C . 5 D . -5

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12. 函数f（x）= $\text{[math]}$ ，点x=3是f（x）的（　　）

A . 连续不可导点 B . 可导不连续点 C . 可导且连续点 D . 非极值点

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13. 函数f（x）= $\text{[math]}$ 是连续函数，则a﹣b=（　　）

A . 0 B . 3 C . -3 D . 7

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14. 函数f（x）= $\text{[math]}$ ，在x=1处连续，则实数m=（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . - $\text{[math]}$ D . - $\text{[math]}$

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15. “a=1”是“函数f（x）= $\text{[math]}$ 在x=1处连续的（　　）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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16. 函数 $\text{[math]}$ 在x=1处连续，则a的值为（　　）

A . 5 B . 3 C . 2 D . 1

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二、填空题

17. (2020高一上·泉州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ .若对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的最小值是.

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18. (2020高二下·吉林期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 是R上的减函数，则a的取值范围是.

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19. (2019高三上·广州月考) 若定义在R上的函数 $\text{[math]}$ ，其图像是连续不断的，且存在常数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 对任意实数x都成立，则称 $\text{[math]}$ 是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为.
① $\text{[math]}$ 是一个“k～特征函数”；② $\text{[math]}$ 不是“k～特征函数”；

③ $\text{[math]}$ 是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“ $\text{[math]}$ ～特征函数”至少有一个零点；

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20. (2019高一上·温州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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21. (2017高一上·河北月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若对任意的非零实数 $\text{[math]}$ ，存在唯一的非零实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立， $\text{[math]}$ ．（并且写出 $\text{[math]}$ 的取值范围)

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22. 已知a＞0，a≠1，若函数 $\text{[math]}$ 在点x=﹣2处连续，则a=

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23. 若函数 $\text{[math]}$ 在点处连续，则实数a=

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24. 设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足 $\text{[math]}$ 的所有x之和为

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25. 函数 $\text{[math]}$ 满足对任意x₁≠x₂都有 $\text{[math]}$ 成立，则a的取值范围是

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26. 为使函数f（x）= $\text{[math]}$ 在x=﹣1处连续，则定义f（﹣1）=

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三、解答题

27. 设函数f（x）在x=0处可导，且f（0）=0，函数g（x）= $\text{[math]}$ ，试确定a的值，使g（x）在x=0处连续．

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28. 设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）=ξ．

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29. （1）是否有闭区间上连续函数，使得每个函数值恰好取一次？
（2）是否有闭区间上连续函数，使得每个函数恰好取二次？

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30. （1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x₀处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x₀处连续，且f（x₀）＞0，则存在一个x₀的（x₀﹣δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

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