上海市上交附高2023-2024学年高三上册数学9月摸底试卷

更新时间：2023-11-10 浏览次数：53 类型：月考试卷

一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简、完整的结果）

1. (2024高三下·开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. (2023高三上·上海市月考) 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是.

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3. (2023高三上·上海市月考) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的数量投影为.

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4. (2023高三上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，若实数a、b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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5. (2023高三上·上海市月考) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在三角形挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C ， M ，与BC交于点N）.则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为.

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6. (2023高三上·上海市月考) 设x、y均为正数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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7. (2023高三上·上海市月考) 一个小球作简谐振动，其运动方程为 $\text{[math]}$ ，其中s（单位：厘米）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：秒）为运动时间，则小球在 $\text{[math]}$ 时的瞬时速度为cm/s.

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8. (2023高三上·上海市月考) 将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，若A、B、C均互不相邻，则不同的排法有种.（用数字作答）

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9. (2023高三上·上海市月考) 已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是.

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10. (2023高三上·上海市月考) 已知m、n均为实数，方程 $\text{[math]}$ 表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是.

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11. (2023高三上·上海市月考) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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12. (2023高三上·上海市月考) 函数 $\text{[math]}$ 是最小正周期为4的偶函数，且在 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 满足，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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二、选择题.（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）

13. (2023高三上·上海市月考) 函数 $\text{[math]}$ 的严格减区间（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023高三上·上海市月考) 如图，一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平均数为5，方差为 $\text{[math]}$ ，去除 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这两个数据后，平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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15. (2023高三上·上海市月考) 甲乙两人下棋，和棋的概率是 $\text{[math]}$ ，甲获胜的概率是 $\text{[math]}$ ，则甲不输的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023高三上·上海市月考) 如果方程 $\text{[math]}$ 所对应的曲线与函数 $\text{[math]}$ 对的图像完全重合，那么对于函数 $\text{[math]}$ 有如下结论：
①函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ；
②函数 $\text{[math]}$ 有且只有一个零点.
对这两个结论，以下判断正确的是（）

A . ①正确，②错误 B . ①错误，②正确 C . ①②正确 D . ①②错误

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三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）

17. (2023高三上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）无穷等比数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）无穷等差数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的通项公式和它的前10项和 $\text{[math]}$ .
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18. (2023高三上·上海市月考) 已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求c；
2. （2）设点M是边AB的中点，若 $\text{[math]}$ ，求三角形ABC的面积.
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19. (2023高三上·上海市月考) 如图，三棱锥S-ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D ， E分别是AB ， AC的中点， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面SDE；
2. （2）求三棱锥S-ABC的体积.
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20. (2023高三上·上海市月考) 如图，椭圆 $\text{[math]}$ 、双曲线 $\text{[math]}$ 中都是坐标原点O ，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、O、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰为线段 $\text{[math]}$ 的六等分点，我们把 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 合成为曲线 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的长轴长为4.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若M是 $\text{[math]}$ 上的一动点， $\text{[math]}$ 为定点，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
3. （3）若直线l过点O ，与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 位于同一象限，且直线 $\text{[math]}$ ，求直线l的斜率.
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21. (2023高三上·上海市月考) 记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的导函数.若存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一个“S点”.
1. （1）证明：函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不存在“S点”；
2. （2）若存在实数b ，使得函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 存在“S点”，求实数a的取值范围；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .对任意常数 $\text{[math]}$ ，判断是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内存在“S点”，并说明理由.
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