一、单项选择题(每小题只有一个答案符合题意,共8小题,每小题5分,共40分)
-
-
A .
B . 2
C .
D . 4
-
-
4.
已知椭圆
C的一个焦点为
, 且过点
, 则椭圆
C的标准方程为( )
-
5.
在等比数列
中,
, 且
, 则
的前6项和为( )
A . 22
B . 24
C . 21
D . 27
-
6.
已知
F是双曲线
C:
的一个焦点,点
P在
C的渐近线上,
O是坐标原点,
, 则△
OPF的面积为( )
-
7.
已知椭圆
C:
(
)的左、右焦点分别为
、
, 若椭圆
C上存在一点
P , 使得
的内切圆的半径为
, 则椭圆
C的离心率的取值范围是( )
-
8.
(2023·广东模拟)
已知双曲线
, 点
的坐标为
, 若
上的任意一点
都满足
, 则
的离心率取值范围是( )
二、多项选择题(共4小题,每小题均有多个选项符合题意,全对得5分,错选得0分,漏选得2分,共20分)
-
-
-
11.
已知双曲线
(
,
)的右焦点为
F , 过点
F且斜率为
k(
)的直线
l交双曲线于
A、
B两点,线段
AB的中垂线交
x轴于点
D . 若
, 则双曲线的离心率的值可能是( )
-
12.
若数列
满足
,
(
),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为90°的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以
为边长的正方形中的扇形面积为
, 数列
的前
n项和为
. 则下列说法正确的是( ):
三、填空题(共4小题,每空5分,共20分)
-
-
14.
已知直线
l:
被圆
C:
(
)截得的弦长为2,则
.
-
15.
已知椭圆
C:
(
)的左、右两焦点分别是
、
, 其中
. 椭圆
C上存在一点
A , 满足
, 则椭圆的离心率的取值范围是
.
-
16.
已知
A ,
B分别是椭圆
E:
的左、右顶点,
C ,
D是椭圆上异于
A ,
B的两点,若直线
AC ,
BD的斜率
,
满足
, 则直线
CD过定点,定点坐标为
.
四、解答题(共6小题,17题10分,18-22题12分)
-
17.
在平面直角坐标系
xOy中,圆
:
与圆
:
相交于
P ,
Q两点.
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-
(2)
记圆
与
x轴正半轴交于点
M , 点
N在圆
上滑动,求
面积最大时的直线
MN的方程.
-
18.
已知等差数列
的前
n项和为
,
,
为等比数列,且
,
,
,
,
.
-
(1)
求数列
,
的通项公式;
-
(2)
求数列
的前
n项和
.
-
19.
已知半径为3的圆的圆心在
x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
-
-
(2)
设直线
与圆相交于
A ,
B两点,求实数
a的取值范围;
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(3)
在(2)的条件下,是否存在实数
a , 使得弦
AB的垂直平分线
l过点
?若存在,求出实数
a的值;若不存在,请说明理由.
-
20.
在平面直角坐标系
xOy中,圆
:
, 圆
:
, 点
, 一动圆
M与圆
内切、与圆
外切.
-
-
(2)
是否存在一条过定点的动直线l , 与(1)中的轨迹E交于A、B两点,并且满足HA⊥HB?若存在,请找出定点;若不存在,请说明理由.
-
21.
已知等差数列
的前
n项和为
, 且
, 数列
的前
n项之积为
,
, 且
.
-
(1)
求
;
-
(2)
令
, 求正整数
n , 使得“
”与“
是
,
的等差中项”同时成立;
-
-
22.
已知椭圆
C:
(
)的左、右焦点为
、
,
,
P为椭圆
C上异于长轴端点的一个动点,
O为坐标原点,直线
,
PO ,
分别与椭圆
C交于另外三点
M ,
Q ,
N , 当
P为椭圆上顶点时,有
.
-
-
(2)
求
的最大值。