广东省广州市真光高级中学校2023-2024学年高二上学期1...

更新时间：2024-04-09 浏览次数：13 类型：月考试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2023高二上·广州月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二上·广州月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则渐近线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·广州月考) “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 平行”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分也非必要条件

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4. (2023高二上·广州月考) $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 分别是双曲线左右焦点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 9或1 B . 1 C . 9 D . 9或2

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5. (2023高二上·广州月考) 已知拋物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，定点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二上·广州月考) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆的两个焦点，满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高二上·广州月考) 已知椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，其右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆与 $\text{[math]}$ 两点．若 $\text{[math]}$ 的中点坐标为 $\text{[math]}$ ，则椭圆的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二上·广州月考) 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为焦点的抛物线 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．

9. (2023高二上·广州月考) 已知方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线C是椭圆 B . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，曲线C是双曲线 C . 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 $\text{[math]}$ D . 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 $\text{[math]}$

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10. (2023高二上·广州月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若双曲线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为28 B . 渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 若从双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 D . 双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率互为倒数

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11. (2023高二上·广州月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$ B . 存在 $\text{[math]}$ 使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 C . 直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交 D . 直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的最短弦长为 $\text{[math]}$

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12. (2023高二上·广州月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$ ，焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与准线 $\text{[math]}$ 相切 C . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 过点 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点的直线至多有2条

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. (2023高二上·广州月考) 与椭圆 $\text{[math]}$ 有公共焦点，且离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线方程为．

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14. (2023高二上·广州月考) 求圆 $\text{[math]}$ 上的动点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值．

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15. (2023高二上·广州月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 和椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. (2023高二上·广州月考) 月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点 $\text{[math]}$ 射出的两条光线与圆 $\text{[math]}$ 分别相切于点 $\text{[math]}$ ，称两射线 $\text{[math]}$ 的切点上方部分与优弧 $\text{[math]}$ 上方所夹的平面区域（含边界）为圆 $\text{[math]}$ 的“背面”．若以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆处于 $\text{[math]}$ 的“背面”，当 $\text{[math]}$ 取得最大值时的 $\text{[math]}$ 值为．

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四、解答题：（70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. (2023高二上·广州月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）试写出数列 $\text{[math]}$ 的前5项；
2. （2）数列 $\text{[math]}$ 是等差数列吗？请说明理由；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的通项公式．
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18. (2023高二上·广州月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的点到 $\text{[math]}$ 的距离等于到直线 $\text{[math]}$ 的距离．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过 $\text{[math]}$ 点，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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19. (2023高二上·广州月考) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
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20. (2023高二上·广州月考) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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21. (2023高二上·广州月考) 已知圆 $\text{[math]}$ ，动圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 均外切，记圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，满足 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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22. (2023高二上·广州月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的两条互相垂直的直线分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点和 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 必过定点，并求出此定点坐标．
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