上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期数学12月...

更新时间：2024-03-28 浏览次数：29 类型：月考试卷

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1. (2023高二上·上海市月考) 过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 平行的直线的方程为.

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2. (2023高二上·上海市月考) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为.

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3. (2023高二上·上海市月考) 以 $\text{[math]}$ 为直径端点的圆的标准方程为.

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4. (2023高二上·上海市月考) 若 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的一个法向量，则直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为.

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5. (2023高二上·上海市月考) 在空间四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ .

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6. (2023高二上·上海市月考) 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，则该正四棱锥的表面积为.

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7. (2023高二上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 上恰有四个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为1，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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8. (2023高二上·上海市月考) 过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 的夹角大小为 $\text{[math]}$ 的直线的一般方程为.

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9. (2023高二上·上海市月考) 已知异面直线 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，若过空间一点 $\text{[math]}$ 有且仅有两条直线与 $\text{[math]}$ 所成角的大小均为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. (2023高二上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ 为正实数，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 轴外一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴围成一个等腰三角形，则 $\text{[math]}$ 的所有可能的取值为.

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11. (2023高二上·上海市月考) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点，单位向量 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个法向量，设 $\text{[math]}$ 是平面上的动点，且满足 $\text{[math]}$ 。若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. (2023高二上·上海市月考) 在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆 $\text{[math]}$ ，并将这两个圆内部涂成红色，过原点画一条斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，沿着 $\text{[math]}$ 将该纸剪成两张纸，若两张纸上红色部分的面积相等，则 $\text{[math]}$ 的取值集合为.

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. (2023高二上·上海市月考) 设 $\text{[math]}$ 是空间中给定的2023个不同的点，则使得 $\text{[math]}$ 成立的点 $\text{[math]}$ 的个数为（）

A . 0个 B . 1个 C . 2023个 D . 4046个

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14. (2023高二上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ 均为实数，且 $\text{[math]}$ 不同时为零， $\text{[math]}$ 不同时为零，则“ $\text{[math]}$ ”是“关于 $\text{[math]}$ 的方程组 $\text{[math]}$ 有无数组解”的（）条件

A . 充分不必要 B . 必要不充分 C . 充要 D . 既不充分也不必要

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15. (2024高二下·浙江开学考) 若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023高二上·上海市月考) 若点 $\text{[math]}$ 既是 $\text{[math]}$ 的中点，又是直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，则线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17. (2023高二上·上海市月考) 已知常数 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离
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18. (2023高二上·上海市月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图像上的动点，以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 的面积为定值
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点。若 $\text{[math]}$ ，求圆 $\text{[math]}$ 的方程
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19. (2023高二上·上海市月考) 如图，在底面是菱形的四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$
1. （1）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小
2. （2）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？证明你的结论。
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20. (2023高二上·上海市月考) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离
3. （3）若点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的投影恰好是 $\text{[math]}$ 的重心，求线段 $\text{[math]}$ 的长。
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21. (2023高二上·上海市月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知两点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ 。如图，动直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上方），且 $\text{[math]}$
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）是否存在一个定点，使得直线 $\text{[math]}$ 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由。
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