2013年高考理数真题试卷（四川卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：853 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. (2013·四川理) 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x²﹣4=0}，则A∩B=（）

A . {﹣2} B . {2} C . {﹣2，2} D . ∅

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2. (2013·四川理) 如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）

A . A B . B C . C D . D

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3. (2013·四川理) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）

A . B . C . D .

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4. (2013·四川理) 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）

A . ￢p：∀x∈A，2x∉B B . ￢p：∀x∉A，2x∉B C . ￢p：∃x∉A，2x∈B D . ￢p：∃x∈A，2x∉B

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5. (2013·四川理)
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\text{[math]}$ ＜φ＜ $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高二上·南阳期中) 抛物线y²=4x的焦点到双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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7. (2020高一上·南昌期中) 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致是（）

A . B . C . D .

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8. (2013·四川理) 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）

A . 9 B . 10 C . 18 D . 20

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9. (2013·四川理) 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2013·四川理) 设函数 $\text{[math]}$ （a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x₀ ， y₀）使得f（f（y₀））=y₀ ，则a的取值范围是（）

A . [1，e] B . [e^﹣¹﹣1，1] C . [1，e+1] D . [e^﹣¹﹣1，e+1]

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二、填空题

11. (2013·四川理) 二项式（x+y）⁵的展开式中，含x²y³的项的系数是（用数字作答）．

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12. (2013·四川理) 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，则λ=．

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13. (2013·四川理) 设sin2α=﹣sinα，α∈（ $\text{[math]}$ ，π），则tan2α的值是．

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14. (2013·四川理) 设P₁ ， P₂ ， …P_n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P₁ ， P₂ ， …P_n的距离之和最小，则称点P为P₁ ， P₂ ， …P_n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. (2013·四川理) 在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=8，且a₄为a₂和a₉的等比中项，求数列{a_n}的首项，公差及前n项和．

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16. (2013·四川理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos² $\text{[math]}$ cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求cosA的值；
2. （2）若a=4 $\text{[math]}$ ，b=5，求向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影．
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17. (2013·四川理)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
1. （1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p_i（i=1，2，3）；
2. （2）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
  甲的频数统计图（部分）
  运行次数n
  输出y的值为1的频数
  输出y的值为2的频数
  输出y的值为3的频数
  30
  14
  6
  10
  …
  …
  …
  …
  2100
  1027
  376
  697
  乙的频数统计图（部分）
  运行次数n
  输出y的值为1的频数
  输出y的值为2的频数
  输出y的值为3的频数
  30
  12
  11
  7
  …
  …
  …
  …
  2100
  1051
  696
  353
  当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大；
3. （3）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
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18. (2013·四川理) 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁ ， ∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．
1. （1）在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
2. （2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值．
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19. (2013·四川理) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的离心率：
2. （2）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 $\text{[math]}$ ，求点Q的轨迹方程．
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20. (2013·四川理) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中a是实数，设A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂ ．
1. （1）指出函数f（x）的单调区间；
2. （2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值；
3. （3）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
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