湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末...

更新时间：2024-04-22 浏览次数：22 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高二上·长沙期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二上·长沙期末) 若集合 $\text{[math]}$ ，则集合A的子集的个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 8

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3. (2024高二上·长沙期末) 设a ， b为两条直线，α ， β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A . 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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4. (2024高二上·长沙期末) 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，其前n项之和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）.

A . 10 B . 100 C . 110 D . 120

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5. (2024高二上·长沙期末) 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）

A . 30种 B . 50种 C . 60种 D . 90种

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6. (2024高二上·长沙期末) 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， l与圆C相交于A､B两点，当弦长 $\text{[math]}$ 最短时，直线l的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二上·长沙期末) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·长沙期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，O为坐标原点，过左焦点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2024高二上·长沙期末) 某校1500名学生参加“校园安全”知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）

A . 频率分布直方图中a的值为0.005 B . 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75 C . 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D . 估计总体中成绩落在 $\text{[math]}$ 内的学生人数为225

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10. (2024高二上·长沙期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极大值 D . 函数 $\text{[math]}$ 有最大值

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11. (2024高二上·长沙期末) 设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 为等差数列，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 仍为等差数列 B . 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 仍为等比数列 C . 若 $\text{[math]}$ 为等差数列，则 $\text{[math]}$ 为等差数列 D . 若 $\text{[math]}$ 为正项等比数列，则 $\text{[math]}$ 为等差数列

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12. (2024高二上·长沙期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，过F作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与C相交于P､Q ， $\text{[math]}$ 与C相交于M ， N ， $\text{[math]}$ 的中点为G ， $\text{[math]}$ 的中点为H ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为16 D . 当 $\text{[math]}$ 最小时，直线 $\text{[math]}$ 的斜率不存在

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高二上·长沙期末) 函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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14. (2024高二上·长沙期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2024高二上·长沙期末) 某高中计划2024年寒假安排甲､乙､丙､丁､戊共5名学生志愿者到A､B､C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为.

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16. (2024高二上·长沙期末) 若函数 $\text{[math]}$ 有2个零点，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (2024高二上·长沙期末) 设a为实数，函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）当a在什么范围内取值时，曲线 $\text{[math]}$ 与x轴仅有一个交点？
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18. (2024高二上·长沙期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F是棱 $\text{[math]}$ 的中点，点E是棱 $\text{[math]}$ 上靠近点D的三等分点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点B到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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19. (2024高一下·临湘期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求B；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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20. (2024高二上·长沙期末) 记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，对任意正整数n ，有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值，并猜想 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）证明第（1）问猜想的通项公式；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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21. (2024高二上·长沙期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中､椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右顶点为A ， B ，上顶点K满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求C的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C交于M ， N两点.设直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 相交于点P ，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 相交于点Q ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于S.证明： $\text{[math]}$ 是定值.
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22. (2024高二上·长沙期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围.
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