吉林省吉林地区普通高中2024届高三下学期第三次模拟考试数学...

更新时间：2024-05-13 浏览次数：26 类型：高考模拟

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. (2024高三下·吉林模拟) 复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2024高一上·吉林月考) 已知 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 4 C . 1或4 D . 2

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3. (2024高二下·正定期中) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.2 B . 0.3 C . 0.7 D . 0.8

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4. (2024高三下·吉林模拟) 若互不相等的正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 成等差数列 B . $\text{[math]}$ 成等比数列 C . $\text{[math]}$ 成等差数列 D . $\text{[math]}$ 成等比数列

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5. (2024高三下·吉林模拟) 下列函数中，既是奇函数，又在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·吉林模拟) 已知圆锥的侧面积是 $\text{[math]}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·吉林模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，若以 $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆过点 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·吉林模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为锐角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·南宁月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的子集个数为2

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10. (2024高三下·吉林模拟) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A . 各二项式系数的和为64 B . 各项系数的绝对值的和为729 C . 有理项有3项 D . 常数项是第4项

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11. (2024高三下·吉林模拟) 如图1，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折，使得点 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 的位置，构成三棱锥 $\text{[math]}$ （如图2），则（）

A . 在翻折过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 可能垂直 B . 在翻折过程中，二面角 $\text{[math]}$ 无最大值 C . 当三梭锥 $\text{[math]}$ 体积最大时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角小于 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内，且直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 的轨迹是椭圆，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

12. (2024高三下·吉林模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 。

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13. (2024高三下·吉林模拟) “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用 $\text{[math]}$ 表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达 $\text{[math]}$ 有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观 $\text{[math]}$ 的不同路线有 $\text{[math]}$ 条，其中 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （结果用 $\text{[math]}$ 表示）。

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14. (2024高三下·吉林模拟) 已知拋物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴垂线，垂足分別为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积比值为。

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高三下·吉林模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积。
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16. (2024高三下·吉林模拟) 如图，在四棱䧾锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在梭 $\text{[math]}$ 上（不包括端点）。
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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17. (2024高三下·吉林模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，动圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹方程，并说明是什么曲线；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角大于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的轨迹相交于两点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的取值范围。
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18. (2024高三下·吉林模拟) 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人。
1. （1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：
  单位：人
  游客
  短视频
  合计
  收看
  未看
  南方游客
  北方游客
  合计
2. （2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出。
  ①求经过 $\text{[math]}$ 次传递后球回到甲的概率；
  ②记前 $\text{[math]}$ 次传递中球传到乙的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望。
  参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ；
  $\text{[math]}$
  附表：
  $\text{[math]}$
  0.1
  0.05
  0.01
  0.005
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
  10.828
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19. (2024高三下·吉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的极小值点和极大值点，记 $\text{[math]}$ ．
  ①证明：直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于除 $\text{[math]}$ 外另一点 $\text{[math]}$ ；
  ②在①结论下，判断是否存在定值 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由。
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