浙江省杭州市2024届高三下学期二模数学试题

更新时间：2024-05-20 浏览次数：77 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高三下·杭州模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·杭州模拟) 设 $\text{[math]}$ 表示两条不同直线， $\text{[math]}$ 表示平面，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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3. (2024高一下·深圳期中) 已知 $\text{[math]}$ 是两个单位向量，若向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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4. (2024高三下·杭州模拟) 设甲：“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增”，乙：“ $\text{[math]}$ ”，则甲是乙的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三下·杭州模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和，则 $\text{[math]}$ （）

A . 110 B . 120 C . 288 D . 306

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6. (2024高三下·杭州模拟) 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）

A . 300 B . 240 C . 150 D . 50

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7. (2024高三下·杭州模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），则（）

A . $\text{[math]}$ 为增函数 B . $\text{[math]}$ 为减函数 C . $\text{[math]}$ 为奇函数 D . $\text{[math]}$ 为偶函数

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8. (2024高三下·杭州模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 无解 B . 1 C . 2 D . 3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. (2024高一下·深圳期中) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 均满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上不单调

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11. (2024高三下·杭州模拟) 过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线C： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．抛物线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线C有2个公共点 B . 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 C . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024高三下·杭州模拟) 写出与圆 $\text{[math]}$ 相切且方向向量为 $\text{[math]}$ 的一条直线的方程．

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13. (2024高三下·杭州模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. (2024高三下·杭州模拟) 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 $\text{[math]}$ ，开口直径为 $\text{[math]}$ ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (2024高三下·杭州模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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16. (2024高三上·郧阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点，
  （ⅰ）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  （ⅱ）证明：函数 $\text{[math]}$ 有且只有一个零点．
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17. (2024高三下·杭州模拟) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若多面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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18. (2024高三下·杭州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右顶点，点 $\text{[math]}$ 与椭圆上的点的距离的最小值为1．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（与 $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）证明：点 $\text{[math]}$ 在定直线上；
  （ⅱ）是否存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的斜率；若不存在，请说明理由．
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19. (2024高三下·杭州模拟) 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $\text{[math]}$ 次，红球出现 $\text{[math]}$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $\text{[math]}$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $\text{[math]}$ 的估计值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为 $\text{[math]}$ ，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
  注： $\text{[math]}$ 表示当每次摸出红球的概率为 $\text{[math]}$ 时，摸出红球次数为 $\text{[math]}$ 的概率）
  （ⅰ）完成下表；
  $\text{[math]}$
  0
  1
  2
  3
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  （ⅱ）在统计理论中，把使得 $\text{[math]}$ 的取值达到最大时的 $\text{[math]}$ ，作为 $\text{[math]}$ 的估计值，记为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）把（1）中“使得 $\text{[math]}$ 的取值达到最大时的 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值 $\text{[math]}$ ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．
  具体步骤：先对参数 $\text{[math]}$ 构建对数似然函数 $\text{[math]}$ ，再对其关于参数 $\text{[math]}$ 求导，得到似然方程 $\text{[math]}$ ，最后求解参数 $\text{[math]}$ 的估计值．已知 $\text{[math]}$ 的参数 $\text{[math]}$ 的对数似然函数为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．求参数 $\text{[math]}$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
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