一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
-
1.
双曲线
的离心率为（ ）
-
2.
二项式
的展开式中第4项的二项式系数为（ ）
A . －15
B . 15
C . －20
D . 20
-
3.
若
， 且
， 则（ ）
-
4.
已知点
，
，
，
， 则异面直线
OC与
AB所成角的余弦值为（ ）
-
5.
中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高1.2m，直径收分1cm，若该柱子柱根直径为30cm，柱高6m，则柱头直径为（ ）
A . 24cm
B . 25cm
C . 26cm
D . 27cm
-
6.
已知函数
的部分图象如图所示，
是
的导函数，则下列结论错误的是（ ）
-
7.
近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量
；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量
， 则
（ ）
-
8.
已知
， 记使
取最大值时的
k的值为
． 把1~9这9个数字排成一列，则
的左、右两侧都有数字，且与
相邻的数字都比
大的排列种数为（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
-
9.
若二项式
的展开式中含有常数项，则
n的值可以是（ ）
A . 6
B . 7
C . 8
D . 9
-
-
11.
已知等差数列
的前
n项和为
，
， 则下列各式的值恒为负的是（ ）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
-
12.
百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为．（用数字作答）
-
13.
如图，一质点在数轴点0的位置出发，每次向左或向右移动1个单位，其中每次向左移动的概率均为
， 则第5次到达点1的位置的概率为
．
-
14.
平面几何中有定理：若点
P为锐角
的外心，直线
AP ，
BP ，
CP分别与锐角
外接圆交于另外一点
，
，
， 则
． 若锐角
的外接圆方程为
， 且该圆与
x轴的交点分别为
A ，
B ， 则六边形
的面积的最大值为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
-
15.
已知函数
．
-
（1）
求
的极值；
-
（2）
若
有3个零点，求实数
a的取值范围．
-
16.
2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．
-
-
（2）
从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．
-
-
（1）
求
的标准方程；
-
（2）
若抛物线
：
的焦点
F与
的右焦点重合，
的准线与
的一个交点为
A ， 线段
AF与
交于点
B ， 求
．
-
18.
某APP（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为
a元、
a元、2
a元、3
a元（
）．
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（1）
若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和X（单位：元）的期望值为70元，求a的值；
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（2）
该APP推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第
i天，当天可获得
i元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该APP，后3天每天登录的概率均为
， 求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和
Y（单位：元）的分布列．
-
19.
若数列
满足
， 从数列
中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列
的和数列，记作数列
．
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（1）
已知等差数列
的前
n项和为
， 且
．
①若
， 
， 求的通项公式，并写出的前5项；
②若
， 
， 求数列的前50项的和；
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（2）
若
（
），证明：对任意
或
，
（
，
），并求数列
的所有项的和．
