广东省高州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

更新时间：2024-08-19 浏览次数：6 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如果一架飞机向西飞行 $\text{[math]}$ ，再向东飞行 $\text{[math]}$ ，记飞机飞行的路程为 $\text{[math]}$ ，位移为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如果 $\text{[math]}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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4. 已知水平放置的 $\text{[math]}$ 的直观图如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ 上的中线的实际长度为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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5. 如图，有一古塔，在 $\text{[math]}$ 点测得塔底位于北偏东 $\text{[math]}$ 方向上的点 $\text{[math]}$ 处，在 $\text{[math]}$ 点测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的正东方向且距 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 点测得塔底位于西偏北 $\text{[math]}$ 方向上（ $\text{[math]}$ 在同一水平面），则塔的高度 $\text{[math]}$ 约为（） $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若圆台的高是 $\text{[math]}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 所在平面外，点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，那么点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 外心 B . 内心 C . 垂心 D . 重心

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的直径，若点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的实部是3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在下列情况的三角形中，有两个解的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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11. (2023高三上·湛江开学考) $\text{[math]}$ 九章算术 $\text{[math]}$ 里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑” $\text{[math]}$ 如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $\text{[math]}$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑” $\text{[math]}$ 在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，其外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，当此鳖臑的体积 $\text{[math]}$ 最大时，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 此鳖臑的体积 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的内切球的半径为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角的大小为．

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14. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的面积，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15. 设 $\text{[math]}$ 是实数，复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （i是虚数单位）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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16. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条中线，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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17. 如图（1），在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，如图（2）．
图（1）图（2）
1. （1）在图（2）中，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在图（2）中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，请确定点 $\text{[math]}$ 的位置．
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18. 已知在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为矩形．
1. （1）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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