湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷

更新时间：2024-07-01 浏览次数：21 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知二项式 $\text{[math]}$ 展开式的二项式系数的和为64，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 展开式的常数项为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的展开式中各项系数的和为1

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 288 B . 144 C . 96 D . 25

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是球的半径， $\text{[math]}$ 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取 $\text{[math]}$ ）（）

A . $\text{[math]}$ cm³ B . 33664 cm³ C . 33792 cm³ D . 35456 cm³

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7. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 分别作准线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为8和4，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 32 B . 16 C . $\text{[math]}$ D . 8

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8. 设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A . 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B . 线性回归直线 $\text{[math]}$ 一定过样本点中心 $\text{[math]}$ C . 线性相关系数 $\text{[math]}$ 越大，两个变量的线性相关性越强 D . 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

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10. 下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为2

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11. 已知无穷数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是以10为首项，以 $\text{[math]}$ 为公差的等差数列， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，以 $\text{[math]}$ 为公式的等比数列 $\text{[math]}$ ，对一切正整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 不存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的定义域为.

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13. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值.
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17. (2019·肇庆模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. 已知点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设不过原点的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且直线 $\text{[math]}$ 的斜率的乘积为 $\text{[math]}$ .平面上一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上且不与端点重合）.试问 $\text{[math]}$ 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
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19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将 $\text{[math]}$ 化为分数是这样计算的：设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ .
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜 $\text{[math]}$ 局指的是一方比另一方多胜 $\text{[math]}$ 局.
1. （1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
2. （2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜 $\text{[math]}$ 局.设甲在净胜 $\text{[math]}$ 局时，继续比赛甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 $\text{[math]}$ ，期望为 $\text{[math]}$ .
  ①求甲获胜的概率 $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ .
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