湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下...

更新时间：2024-06-24 浏览次数：21 类型：期中考试

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高二下·长沙期中) 已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则|z|=（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. (2024高二下·长沙期中) 在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线AC与BD交于点O，则 $\text{[math]}$ 的坐标为

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·长沙期中) 王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（）

A . 120种 B . 72种 C . 48种 D . 36种

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4. (2024高二下·长沙期中) 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2， $\text{[math]}$ ，则抛物线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·长沙期中) 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的大致图象为（）

A . B . C . D .

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6. (2024高二下·长沙期中) 对于一组具有线性相关关系的数据 $\text{[math]}$ ，根据最小二乘法求得经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，则以下说法正确的是（）

A . 至少有一个样本点落在回归直线 $\text{[math]}$ 上 B . 预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C . 决定系数 $\text{[math]}$ 越小，说明该模型的拟合效果越好 D . 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

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7. (2024高二下·长沙期中) 设A为直线 $\text{[math]}$ 上一点，P，Q分别在圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·长沙期中) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·长沙期中) 已知a，b，c， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则下列关系一定成立的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·长沙期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上顶点， $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形．下列说法正确的是（）

A . 离心率 $\text{[math]}$ B . 使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形的点A有4个 C . 当直线 $\text{[math]}$ 倾斜角为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 周长为6 D . 将椭圆C进行旋转得到椭圆 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 和B为焦点，则C和 $\text{[math]}$ 有且仅有2个交点

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11. (2024高二下·长沙期中) 如图，正八面体 $\text{[math]}$ 棱长为2，P为棱MC．上一动点（不含端点）．下列说法正确的是（）

A . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ B . 当P为棱MC的中点时，正八面体表面从N点到P点的最短距离为 $\text{[math]}$ C . 异面直线AP和MD所成角随PC的增大而减小 D . 以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高二下·长沙期中) 若集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高二下·长沙期中) 已知p：“ $\text{[math]}$ ”是q：“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．

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14. (2024高二下·长沙期中) 如果圆 $\text{[math]}$ 至少覆盖函数 $\text{[math]}$ 的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高二下·长沙期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 为奇函数．
1. （1）求a的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值．
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16. (2024高二下·长沙期中) 如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线BC与平面ABD所成角的余弦值．
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17. (2024高二下·长沙期中) 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积最大值．
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18. (2024高二下·长沙期中) 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．
1. （1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；
2. （2）记n次抛掷得分恰为 $\text{[math]}$ 分的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ；
3. （3）投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为 $\text{[math]}$ ，当b，取最大值时，求n的值．
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19. (2024高二下·长沙期中) 对于椭圆 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么在坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆 $\text{[math]}$ ，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的 $\text{[math]}$ ，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
1. （1）在原坐标系中斜率为k的直线l，经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的伸缩变换后斜率变为 $\text{[math]}$ ，求k与 $\text{[math]}$ 满足的关系；
2. （2）设动点P在椭圆 $\text{[math]}$ 上，过点P作椭圆 $\text{[math]}$ 的切线，与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆 $\text{[math]}$ 的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
3. （3）点 $\text{[math]}$ ）在椭圆 $\text{[math]}$ 上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
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