河北省衡水市武邑中学2023-2024学年高二下学期第二次月...

更新时间：2024-06-28 浏览次数：9 类型：月考试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·赵县月考) 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.29 B . 0.71 C . 0.79 D . 0.855

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3. 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 有公共点的必要不充分条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则 $\text{[math]}$ 的前6项和为（）

A . 48 B . 24 C . 12 D . 8

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5. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“ $\text{[math]}$ ”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价 $\text{[math]}$ （单位：元）和销售量 $\text{[math]}$ （单位：百件）之间的一组数据：
$\text{[math]}$
20
25
30
35
40
$\text{[math]}$
5
7
8
9
11
用最小二乘法求得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的经验回归方程是 $\text{[math]}$ ，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（）（单位：百件）

A . 11.2 B . 11.75 C . 12.2 D . 12

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6. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 处的切线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，依次类推，曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设 $\text{[math]}$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列叙述中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 下列命题为真命题的是（）

A . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为2，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为17 B . 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C . 用决定系数 $\text{[math]}$ 比较两个模型的拟合效果时，若 $\text{[math]}$ 越大，则相应模型的拟合效果越好 D . 以模型 $\text{[math]}$ 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 $\text{[math]}$ ，求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则c，k的值分别是 $\text{[math]}$ 和2

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11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达 $\text{[math]}$ 芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为线段CQ上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为3 C . 点 $\text{[math]}$ 到直线CQ的距离是 $\text{[math]}$ D . 直线AM与平面 $\text{[math]}$ 所成角正弦值的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 有序实数组 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 维向量， $\text{[math]}$ 为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．记范数为奇数的 $\text{[math]}$ 的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是菱形， $\text{[math]}$ 分别为AD，AB的中点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
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17. 在平面直角坐标系xOy中，设 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点P，M为椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于两点 $\text{[math]}$ ，设直线AF、BF的斜率分别为 $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ 为定值；
  ②求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值集合；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为整数，若对任意正整数 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量．这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征．（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布．这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息．由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的．事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）．熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底．采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性．例如，投掷一次硬币提供了 $\text{[math]}$ 的信息，而掷 $\text{[math]}$ 次就为 $\text{[math]}$ 位．更一般地，你需要用 $\text{[math]}$ 位来表示一个可以取 $\text{[math]}$ 个值的变量．在1948年，克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滴．而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻．设随机变量 $\text{[math]}$ 所有取值为 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 的信息熵 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试探索 $\text{[math]}$ 的信息熵关于 $\text{[math]}$ 的解析式，并求其最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求此时的信息熵．
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