湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题(五

更新时间：2025-01-10 浏览次数：14 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024·湖北模拟) 数据20，24，6，7，13，14的第60百分位数是（）

A . 6 B . 7 C . 13 D . 14

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2. (2024·湖北模拟) 若集合 $\text{[math]}$ ．集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的真子集个数为（）

A . 3 B . 4 C . 31 D . 32

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3. (2024·湖北模拟) 用斜二测画法画出的水平放置的 $\text{[math]}$ 的直观图如图所示，其中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. (2024·湖北模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024·湖北模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 52 B . 54 C . 56 D . 58

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6. (2024·湖北模拟) 椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于A ， B两点，直线PA ， PB的斜率乘积为 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024·湖北模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ，若正三角形ABC的一边AB为圆O的一条弦，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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8. (2024高二下·重庆市月考) 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．函数 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024·湖北模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则下列命题错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024·湖北模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上可导，且 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为奇函数，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 是奇函数 B . $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·社旗模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项为 $\text{[math]}$ ．抛物线在点A、B处的切线交于点M ，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N ， O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为16

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024·湖北模拟) 甲、乙两同学玩掷股子游戏，规则如下：
①甲、乙各抛掷质地均匀的殿子一次，甲得到的点数为 $\text{[math]}$ ，乙得到的点数为 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ 的值能使二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为．

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13. (2024·湖北模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高三下·社旗模拟) 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有实根，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024·湖北模拟) 函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数．
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16. (2024高三下·社旗模拟) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A ， B的点， $\text{[math]}$ 平面ABC ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F分别为PA ， PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面PBC；
2. （2）直线l与圆O的交点为B ， D ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为 $\text{[math]}$ ，直线PQ与平面BEF的夹角为 $\text{[math]}$ ，是否存在点Q ，使得 $\text{[math]}$ ？如果存在，请求出 $\text{[math]}$ ；如果不存在，请说明理由．
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17. (2024·湖北模拟) 若正整数m ， n只有1为公约数，则称m ， n互质，欧拉函数是换，对于一个正整数n ，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的行 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ，
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18. (2024高三下·社旗模拟) 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点P的轨迹为C ，过点 $\text{[math]}$ 作直线l ，与轨迹C相交于A ， B两点．
1. （1）求轨迹C的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围；
3. （3）若直线l与直线 $\text{[math]}$ 交于点M ，过点M作y轴的垂线，垂足为N ，直线NA ， NB分别与x轴交于点S ， T ，证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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19. (2024·湖北模拟) 某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为 $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）要使 $\text{[math]}$ 的值最大，求n的值；
2. （2）已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件 $\text{[math]}$ 的概率作出估计．
  ①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
  ②为了至少有 $\text{[math]}$ 的把握使种子的发芽率落在区间 $\text{[math]}$ ，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数 $\text{[math]}$ 的最小值．
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