河南省南阳市社旗县第一高级中学2024届高三下学期三模考试数...

更新时间：2025-01-10 浏览次数：11 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高三下·社旗模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·社旗模拟) $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·社旗模拟) $\text{[math]}$ 的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（）

A . -240 B . 240 C . 60 D . -60

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4. (2024高三下·社旗模拟) 已知F是抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点，过F的直线l与C交于A ， B两点，且A ， B到直线 $\text{[math]}$ 的距离之和等于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 8 C . 12 D . 14

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5. (2024高三下·社旗模拟) 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖.通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为 $\text{[math]}$ m，顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）.

A . $\text{[math]}$ m² B . $\text{[math]}$ m² C . $\text{[math]}$ m² D . $\text{[math]}$ m²

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6. (2024高三下·社旗模拟) 设 $\text{[math]}$ 是公比不为1的无穷等比数列，则“ $\text{[math]}$ 为递增数列”是“存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2024高三下·社旗模拟) 甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 $\text{[math]}$ 表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两两互斥的事件 B . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 为相互独立事件 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·社旗模拟) 已知 $\text{[math]}$ 中，a､b､c为角A､B､C的对边， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的内角平分线交于点I， $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

9. (2024高三下·社旗模拟) 已知空间两条异面直线a，b所成的角等于 $\text{[math]}$ ，过点P与a，b所成角均为 $\text{[math]}$ 的直线有且只有一条，则 $\text{[math]}$ 的值可以等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·社旗模拟) 如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x ， y轴的非负半轴交于A ， B两点，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则l始终和曲线C： $\text{[math]}$ 相切，关于曲线C的说法正确的有（）

A . 曲线C关于直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都对称 B . 曲线C上的点到 $\text{[math]}$ 和到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等 C . 曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·社旗模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项为 $\text{[math]}$ ．抛物线在点A、B处的切线交于点M ，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N ， O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为16

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三、填空题（共3小题，每题5分，共15分。）

12. (2024高三下·社旗模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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13. (2024高三下·社旗模拟) 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为3的正三角形， $\text{[math]}$ ，若三棱锥的体积为 $\text{[math]}$ ，则PA长度的最小值为

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14. (2024高三下·社旗模拟) 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有实根，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题（共5小题，共77分）

15. (2024高三下·社旗模拟) 函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 零点个数．
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16. (2024高三下·社旗模拟) $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C的对边为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等差数列．
1. （1）若a ， b ， c是等比数列，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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17. (2024高三下·社旗模拟) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A ， B的点， $\text{[math]}$ 平面ABC ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F分别为PA ， PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面PBC；
2. （2）直线l与圆O的交点为B ， D ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为 $\text{[math]}$ ，直线PQ与平面BEF的夹角为 $\text{[math]}$ ，是否存在点Q ，使得 $\text{[math]}$ ？如果存在，请求出 $\text{[math]}$ ；如果不存在，请说明理由．
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18. (2024高三下·社旗模拟) 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n辆（ $\text{[math]}$ ）坦克的编号为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ．
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用 $\text{[math]}$ 估计总体的均值，因此 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，故可用 $\text{[math]}$ 作为N的估计．
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现 $\text{[math]}$ 的无意义结果．例如，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求条件概率 $\text{[math]}$ ；
2. （2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求随机变量M的分布列和均值 $\text{[math]}$ ；
3. （3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现 $\text{[math]}$ 与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断 $\text{[math]}$ 与N的大小关系，并给出证明．
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19. (2024高三下·社旗模拟) 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点P的轨迹为C ，过点 $\text{[math]}$ 作直线l ，与轨迹C相交于A ， B两点．
1. （1）求轨迹C的方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围；
3. （3）若直线l与直线 $\text{[math]}$ 交于点M ，过点M作y轴的垂线，垂足为N ，直线NA ， NB分别与x轴交于点S ， T ，证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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