浙教版数学七年级暑假知识训练：因式分解的应用

定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，5是“完美数”，理由：因为 ， 所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；若是整数，k是常数 ， 且为“完美数”，则．

请你直接写出 3 个四位 “回文数”， 再猜想： 任意一个四位 “回文数”能否被 11 整除？ 说明理由．

如图1，有 ， ， 三种类型的卡片各若干张，已知 ， 是边长分别为 ， 的正方形卡片，是长为 ， 宽为的长方形卡片．

活动一：利用 ， ， 三种类型的卡片拼成如图2所示的长方形，该长方形的面积可以用多项式表示为______，还可以用整式乘积的形式表示为______，利用上述面积的不同表达方式可以得到等式______．

活动二：利用 ， ， 三种类型的卡片拼成如图3所示的大长方形．

（1）依据活动一的方法，可以将进行因式分解为______；

（2）若每张型卡片的面积为 ， 2张型卡片和2张型卡片的面积和为 ， 求所拼成的大长方形的周长．

材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如， ， ， ， 则都是“完美数”；再如， ， （是整数），所以也是“完美数”．

材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定 ． 例如 ， 这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有 ．

请解答下列问题：

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若 ， 则；若 ， 则；若 ， 则 ．

例如：

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；

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根据以上信息，完成下列问题：