湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期期末调研数学试卷

更新时间：2024-08-23 浏览次数：4 类型：期末考试

一、单选题

1. (2024高二下·长沙期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·长沙期末) “ $\text{[math]}$ ”是“函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2024高二下·长沙期末) 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（）

A . 350 B . 700 C . 2100 D . 4200

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4. (2024高二下·长沙期末) 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港 $\text{[math]}$ 如图，是港区某个泊位一天中 $\text{[math]}$ 时到 $\text{[math]}$ 时的水深变化曲线近似满足函数 $\text{[math]}$ ，据此可知，这段时间水深 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 的最大值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·长沙期末) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.7 B . 0.3 C . 0.2 D . 0.1

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6. (2024高二下·长沙期末) 某企业生产线上生产的产品的某项指标 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 现从该生产线上随机抽取 $\text{[math]}$ 个产品，记 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的产品个数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 9 C . 11 D . 13

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7. (2024高二下·长沙期末) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在最值，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·长沙期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2024高二下·长沙期末) 已知a ， b ， c为实数，则下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·长沙期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高二下·长沙期末) 已知正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数， $\text{[math]}$ ），则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . 方程 $\text{[math]}$ 无实数解

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三、填空题

12. (2024高二下·长沙期末) 曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行的切线方程为.

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13. (2024高二下·长沙期末) 现安排高二年级甲，乙、丙、丁、戊五名同学去A、B两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为．（用数字作答）

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14. (2024高二下·长沙期末) 某学校有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择 $\text{[math]}$ 餐厅和选择 $\text{[math]}$ 餐的概率均为 $\text{[math]}$ .如果第1天去 $\text{[math]}$ 餐厅，那么第2天去 $\text{[math]}$ 餐厅的概率为 $\text{[math]}$ ；如果第1天去 $\text{[math]}$ 餐厅，那么第2天去 $\text{[math]}$ 餐厅的概率为 $\text{[math]}$ ，则某同学第2天去 $\text{[math]}$ 餐厅用餐的概率为；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量 $\text{[math]}$ 为该班3名同学中第2天选择 $\text{[math]}$ 餐厅的人数，则随机变量 $\text{[math]}$ 的均值 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

15. (2024高二下·长沙期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）记关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为M，若 $\text{[math]}$ ，求实数m的取值范围.
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16. (2024高二下·长沙期末) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，
1. （1）求二项式系数最大的项；
2. （2）若第 $\text{[math]}$ 项是有理项，求 $\text{[math]}$ 的取值集合；
3. （3）系数最大的项是第几项.
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17. (2024高二下·长沙期末) 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 $\text{[math]}$ （单位：亿元）与研发人员增量 $\text{[math]}$ （人）的10组数据．现用模型① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ 分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

7.5
2.25
82.50
4.50
12.14
2.88
1. （1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
2. （2）根据（1）中所选模型，求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
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18. (2024高二下·长沙期末) 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.
1. （1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
  晴天
  雨天
  命中
  45
  30
  不命中
  5
  20
  附： $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  0.15
  0.10
  0.05
  0.010
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.072
  2.706
  3.841
  6.635
  10.828
2. （2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 $\text{[math]}$ ，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 $\text{[math]}$ ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 $\text{[math]}$ ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
  （i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
  （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
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19. (2024高二下·长沙期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有零点，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）记函数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.
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