湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测...

更新时间：2024-08-26 浏览次数：5 类型：期末考试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）

1. (2024高二下·郴州期末) 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. (2024高二下·郴州期末) 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点分别为 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·郴州期末) $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 2

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4. (2024高二下·郴州期末) 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 分别为其左右焦点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一交点为 $\text{[math]}$ 的周长为16.若 $\text{[math]}$ 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·郴州期末) 若 $\text{[math]}$ 为一组数 $\text{[math]}$ 的第六十百分位数，则二项式 $\text{[math]}$ 的展开式的常数项是（）

A . 28 B . 56 C . 36 D . 40

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6. (2024高二下·郴州期末) 三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（）

A . 360种 B . 540种 C . 720种 D . 900种

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7. (2024高二下·郴州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的两个零点分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·郴州期末) 设函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在导数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高二上·重庆市开学考) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 内（包含边界）运动，且 $\text{[math]}$ .下列结论正确的是（）

A . 动点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ ； B . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为2； C . $\text{[math]}$ 的最大值为2； D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$ .

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10. (2024高二下·郴州期末) 已知定义域在R上的函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 是奇函数，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的周期 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 是偶函数

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11. (2024高二下·郴州期末) 锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边为 $\text{[math]}$ .且满足 $\text{[math]}$ .下列结论正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹的离心率 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的外接圆周长 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. (2024高二下·郴州期末) 若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 有两个不同的交点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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13. (2024高二下·郴州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高二下·郴州期末) 暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，则盘山步道的长度为，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. (2024高二下·郴州期末) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. (2024高一下·唐县期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ （不含端点）上的动点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由.
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17. (2024高二下·郴州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立.
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18. (2024高二下·郴州期末) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 是抛物线的焦点，已知 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求抛物线的方程及 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 在第一象限时， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，且 $\text{[math]}$ 的面积为1，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 $\text{[math]}$ 的两个点分别记为 $\text{[math]}$ ，问抛物线的准线上是否存在一点 $\text{[math]}$ 使得， $\text{[math]}$ .
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19. (2024高二下·郴州期末) 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 $\text{[math]}$ 发生的概率为 $\text{[math]}$ ，试验进行到事件 $\text{[math]}$ 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为 $\text{[math]}$ ，其分布列为 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 服从几何分布，记为 $\text{[math]}$ .
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求 $\text{[math]}$ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，再求 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的极限： $\text{[math]}$
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）求随机变量 $\text{[math]}$ 的方差 $\text{[math]}$ .
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