一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在所给的四个选项中,只有一个最佳答案,多选或不选得0分)
-
A . 必要而不充分条件
B . 充分而不必要条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
-
2.
已知
为虚数单位,若复数
在复平面内对应的点分别为
, 则复数
( )
-
3.
( )
A .
B . 4
C .
D . 2
-
4.
已知
为椭圆
上一动点,
分别为其左右焦点,直线
与
的另一交点为
的周长为16.若
的最大值为6,则该椭圆的离心率为( )
-
5.
若
为一组数
的第六十百分位数,则二项式
的展开式的常数项是( )
A . 28
B . 56
C . 36
D . 40
-
6.
三位老师和4名同学站一排毕业留影,要求老师们站在一起,则不同的站法有:( )
A . 360种
B . 540种
C . 720种
D . 900种
-
7.
已知函数
的两个零点分别为
, 若
三个数适当调整顺序后可为等差数列,也可为等比数列,则不等式
的解集为( )
-
8.
设函数
在
上存在导数
, 有
, 在
上
, 若
, 则实数
的取值范围是( )
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
-
12.
若直线
:
与曲线
:
有两个不同的交点,则实数
的取值范围是
.
-
13.
已知数列
满足:
. 若
, 则数列
的前
项和
.
-
14.
暑假将临,大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云,整体呈圆锥形,其半山腰(母线的中点)有一座古寺,与上山入口在同一条母线上,入口和古寺通过一条盘山步道相连,且当时为了节省资金,该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图,已知该座山的底面半径
, 高
, 则盘山步道的长度为
,其中上山(到山顶的直线距离减小)和下山(到山顶的直线距离增大)路段的长度之比为
.
四、解答题(本大题共5小题,共77分)
-
15.
在锐角
中,内角
所对的边分别为
,
, 且满足
.
-
(1)
证明:
;
-
(2)
求
的取值范围.
-
16.
如图,在四棱锥
中,底面
为正方形,
平面
为线段
的中点,
为线段
(不含端点)上的动点.
-
(1)
证明:平面
平面
;
-
(2)
是否存在点
, 使二面角
的大小为
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
-
17.
已知函数
.
-
-
-
18.
已知
是抛物线
上一点,
是抛物线的焦点,已知
,
-
(1)
求抛物线的方程及
的值;
-
(2)
当
在第一象限时,
为坐标原点,
是抛物线上一点,且
的面积为1,求点
的坐标;
-
(3)
满足第(2)问的条件下的点中,设平行于
的两个点分别记为
, 问抛物线的准线上是否存在一点
使得,
.
-
19.
材料一:在伯努利试验中,记每次试验中事件
发生的概率为
, 试验进行到事件
第一次发生时停止,此时所进行的试验次数为
, 其分布列为
, 我们称
服从几何分布,记为
.
材料二:求无穷数列的所有项的和,如求 , 没有办法把所有项真的加完,可以先求数列前项和 , 再求时的极限:
根据以上材料,我们重复抛掷一颗均匀的骰子,直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量.
-
(1)
证明:
;
-
(2)
求随机变量
的数学期望
;
-
(3)
求随机变量
的方差
.