专题34 等比数列及其前n项和-2025年高考数学一轮复习讲...

更新时间：2024-12-16 浏览次数：3 类型：高考真卷

一、单选题

1. (2025·) 设等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，前n项和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 15 D . 40

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2. (2025·) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2025·) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前3项和为168， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 14 B . 12 C . 6 D . 3

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二、填空题

4. (2025·) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的公比为．

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5. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

6. (2025·) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和.
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四、单选题

7. (2025·) 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若a ， b ， c三个数成等比数列，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或1

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五、多选题

9. (2025·) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ 成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2025·) 设 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列； $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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六、填空题

11. (2025·) 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为盏．

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12. (2025·) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数），且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项是5，则首项 $\text{[math]}$ .

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七、解答题

13. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间插入n个数，使这 $\text{[math]}$ 个数组成一个公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，求 $\text{[math]}$ ．
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14. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求满足条件的最大整数 $\text{[math]}$ .
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15. (2025·) 记等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正项等比数列，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列．
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16. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ ．
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17. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列，并求其通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前100项和 $\text{[math]}$ ．
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八、单选题

19. (2025·) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 40 B . -30 C . 30 D . -30或40

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20. (2025·) 设 $\text{[math]}$ 为正项等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项积，若 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 32 C . $\text{[math]}$ D . 512

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九、多选题

21. (2025·) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积，则（）

A . $\text{[math]}$ 为单调递增数列 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的最大项 D . $\text{[math]}$ 无最大项

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22. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ ，将数列 $\text{[math]}$ 与数列 $\text{[math]}$ 的公共项从小到大排列得到数列 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$

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十、填空题

23. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值集合为．

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24. (2025·) 设 $\text{[math]}$ 是等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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十一、单选题

25. (2025·) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （　　）

A . 8 B . ±8 C . 10 D . ±10

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26. (2025·) 记等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 121 B . 63 C . 40 D . 31

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27. (2025·) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 8

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28. (2025·) 等比数列 $\text{[math]}$ 公比为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则“ $\text{[math]}$ ”是“数列 $\text{[math]}$ 为递增数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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十二、多选题

29. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 是等比数列， $\text{[math]}$ 是其前n项和，满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是正项数列，则 $\text{[math]}$ 是单调递增数列 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 一定是等比数列 C . 若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 都成立，则 $\text{[math]}$ 是等差数列 D . 若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 都成立，则 $\text{[math]}$ 是等差数列

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30. (2025·) 已知实数数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）．

A . 若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，则 $\text{[math]}$ 恒成立 B . 若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …为等差数列 C . 若数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …为等比数列

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31. (2025·) $\text{[math]}$ 是等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的公比 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 可能为常数列

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十三、填空题

32. (2025·) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差 $\text{[math]}$ ，首项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项，记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ .

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33. (2025·) 若实数 $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ =.

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34. (2025·) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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十四、解答题

35. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列，数列 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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36. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均不为零， $\text{[math]}$ 为其前n项和，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求数列 $\text{[math]}$ 的前2022项和 $\text{[math]}$ .
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十五、单选题

37. (2025·) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 26 B . 32 C . 512 D . 1024

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十六、多选题

38. (2025·) 关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）

A . 若数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，且其前 $\text{[math]}$ 项的和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若数列 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ 为前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …成等比数列 D . 若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最小

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十七、填空题

39. (2025·) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取最大值时， $\text{[math]}$ 的值为．

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十八、解答题

40. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的乘积，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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十九、单选题

41. (2025·) 2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $\text{[math]}$ 各边的四等分点E ， F ， G ， H ，作第2个正方形 $\text{[math]}$ ，然后再取正方形 $\text{[math]}$ 各边的四等分点M ， N ， P ， Q ，作第3个正方形 $\text{[math]}$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ，后续各正方形边长依次为 $\text{[math]}$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $\text{[math]}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的个数是（）
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列.

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二十、多选题

42. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 是等比数列，公比为 $\text{[math]}$ ，若存在无穷多个不同的 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则下列选项之中，可能成立的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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〇、填空题

43. (2025·) 定义：对于函数 $\text{[math]}$ 和数列 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有“ $\text{[math]}$ 函数性质”.已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象的最低点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 具有“ $\text{[math]}$ 函数性质”，且首项为1的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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