湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试题

更新时间：2025-01-03 浏览次数：12 类型：期中考试

一、单选题（共40分）

1. (2024高三上·临湘期中) 复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2024高三上·汨罗期中) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·临湘期中) 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据： $\text{[math]}$ ，铜的密度为8.96 $\text{[math]}$ ）（）

A . 1kg B . 2kg C . 3kg D . 0.5kg

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4. (2024高三上·汨罗期中) 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三上·临湘期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·汨罗期中) 设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·临湘期中) 直线l过双曲线E： $\text{[math]}$ 的左顶点A，斜率为 $\text{[math]}$ ，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且 $\text{[math]}$ ，则E的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·汨罗期中) 已知函数f(x)＝a^x＋e^x－(1＋ln a)x( $\text{[math]}$ ， a≠1)，对任意x₁ ， x₂∈[0，1]，不等式|f(x₁)－f(x₂)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . [2，e] C . [e，＋∞) D . (e，＋∞)

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二、多选题（共20分）

9. (2024高三上·临湘期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列，则下列说法中正确的是（）

A . 将数列 $\text{[math]}$ 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列 B . 数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，是等差数列 C . 将数列 $\text{[math]}$ 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列 D . 数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，是等比数列

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10. (2024高三上·汨罗期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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11. (2024高三上·临湘期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为奇函数 D . $\text{[math]}$

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12. (2024高三上·汨罗期中) 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的可导函数，其导数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是奇函数，且对于任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对于任意的 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 都是 $\text{[math]}$ 的周期 B . 曲线 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . 曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 都是偶函数

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三、填空题（共20分）

13. (2024高三上·临湘期中) 已知sin α＝ $\text{[math]}$ ， sin(α－β)＝－ $\text{[math]}$ ， α，β均为锐角，则β＝.

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14. (2024高三上·临湘期中) 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024高三上·汨罗期中) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. (2024高三上·临湘期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 若存在实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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四、解答题（共70分）

17. (2024高三上·临湘期中) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求三角形 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. (2024高三上·汨罗期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若 $\text{[math]}$ 恰好为函数 $\text{[math]}$ 的最大值，且此时 $\text{[math]}$ ，求3a＋4b的最小值．
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19. (2024高三上·临湘期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. (2024高三上·汨罗期中) 一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $\text{[math]}$ ）开始计算时间．
1. （1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
2. （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
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21. (2024高三上·临湘期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程 $\text{[math]}$ ，其左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）过点 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 过右焦点 $\text{[math]}$ ，且它们的斜率乘积为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 分别与椭圆交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，证直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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22. (2024高三上·临湘期中) 多元导数在微积分学中有重要的应用.设 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …等多个自变量唯一确定的因变量，则当 $\text{[math]}$ 变化为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 变化为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的导数，其符号为 $\text{[math]}$ .和一般导数一样，若在 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大；反之，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： $\text{[math]}$ ；②乘法法则： $\text{[math]}$ ；③除法法则： $\text{[math]}$ ；④复合法则： $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）已知方程 $\text{[math]}$ 有两实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②证明 $\text{[math]}$ ，并写出 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的变化趋势.
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