2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）

更新时间：2017-03-10 浏览次数：747 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）

A . ∅ B . {2} C . {2，3} D . {x|2≤x＜3}

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2. 若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ i D . ﹣ $\text{[math]}$ i

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3. 某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）

A . 25 B . 20 C . 12 D . 5

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4. “a=1”是“直线l₁：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l₂：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为 $\text{[math]}$ ，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）

A . 30万元 B . 22.5万元 C . 10万元 D . 7.5万元

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6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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7. 若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）

A . 19 B . 27 C . 28 D . 37

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8. 过点P（2，1）的直线l与函数f（x）= $\text{[math]}$ 的图像交于A，B两点，O为坐标原点，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ C . 5 D . 10

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9. 已知cosα，sinα是函数f（x）=x²﹣tx+t（t∈R）的两个零点，则sin2α=（）

A . 2﹣2 $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ ﹣2 C . $\text{[math]}$ ﹣1 D . 1﹣ $\text{[math]}$

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10. 设F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\text{[math]}$ 的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF₁NF₂为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知点P（﹣2， $\text{[math]}$ ）在椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）上，过点P作圆C：x²+y²=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a²+b²的值是（）

A . 13 B . 14 C . 15 D . 16

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12. 已知f（x）=e^x ， g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（）

A . （ln2，1） B . （ $\text{[math]}$ ，ln2） C . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） D . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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二、填空题

13. （x²+1）（ $\text{[math]}$ ）⁵的展开式的常数项为．

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14. 已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为．

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15. 已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C₁：（x+1）²+（y﹣2）²=1相交于A，B两点，点P是圆C₂：（x﹣3）²+y²=5上的动点，则△PAB面积的最大值是．

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16. 已知抛物线C：y²=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =18，则k=．

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三、解答题

17. 数列{a_n}中，a_n₊₂﹣2a_n₊₁+a_n=1（n∈N^*），a₁=1，a₂=3．．
1. （1）求证：{a_n₊₁﹣a_n}是等差数列；
2. （2）求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和S_n ．
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18. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．
1. （1）若c= $\text{[math]}$ a，求角A；
2. （2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．
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19. 2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：
单位
A₁
A₂
A₃
A₄
A₅
平均身高x（单位：cm）
170
174
176
181
179
平均得分y
62
64
66
70
68
注：回归当初 $\text{[math]}$ 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）
2. （2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的右焦点F（ $\text{[math]}$ ），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x₁ ， x₂（x₁＜x₂）．
1. （1）求实数m的取值范围；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
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22. 已知曲线C的参数方程是 $\text{[math]}$ （α为参数）
1. （1）将C的参数方程化为普通方程；
2. （2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ $\text{[math]}$ ρsinθ+2 $\text{[math]}$ =0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．
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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）
1. （1） t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；
2. （2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．
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