一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
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4.
(2022·周至模拟)
从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:
),将所得数据分为9组:
,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间
内的个数为( )
A . 10
B . 18
C . 20
D . 36
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7.
(2022高二下·嫩江月考)
设双曲线
的方程为
,过抛物线
的焦点和点
的直线为l.若C的一条渐近线与
平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )
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A . ①
B . ①③
C . ②③
D . ①②③
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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分,
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13.
(2022·红桥模拟)
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
和
.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为
;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
.
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15.
(2022·沧州模拟)
如图,在四边形
中,
,
,且
,则实数
的值为
,若
是线段
上的动点,且
,则
的最小值为
.
三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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17.
(2021高二上·辽宁月考)
如图,在三棱柱
中,
平面
,
,点
分别在棱
和棱
上,且
为棱
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求二面角 的正弦值;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
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18.
(2020高二上·重庆月考)
已知椭圆
的一个顶点为
,右焦点为F,且
,其中O为原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点C满足 ,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线 与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段 的中点.求直线 的方程.
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20.
(2020·天津)
已知函数
,
为
的导函数.
(Ⅰ)当 时,
(i)求曲线 在点 处的切线方程;
(ii)求函数 的单调区间和极值;
(Ⅱ)当 时,求证:对任意的 ,且 ,有 .