2020年高考数学真题分类汇编专题08：导数在函数中的应用

更新时间：2020-07-27 浏览次数：232 类型：二轮复习

一、单选题

1. (2020·新课标Ⅲ·理) 若直线l与曲线y= $\text{[math]}$ 和x²+y²= $\text{[math]}$ 都相切，则l的方程为（）

A . y=2x+1 B . y=2x+ $\text{[math]}$ C . y= $\text{[math]}$ x+1 D . y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·凯里月考) 函数 $\text{[math]}$ 的图像在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

3. (2020·新课标Ⅲ·文) 设函数 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则a=．

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4. (2020高三上·南通开学考) 曲线 $\text{[math]}$ 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.

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三、解答题

5. (2020·新课标Ⅲ·文) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有三个零点，求k的取值范围．
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6. (2020·新课标Ⅲ·理) 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点( $\text{[math]}$ ，f( $\text{[math]}$ ))处的切线与y轴垂直．
1. （1）求b．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $\text{[math]}$ 所有零点的绝对值都不大于1．
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7. (2021高三上·大同) 已知函数f（x）=2lnx+1．
1. （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
2. （2）设a>0时，讨论函数g（x）= $\text{[math]}$ 的单调性．
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8. (2021高三上·桂林月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个零点，求a的取值范围.
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9. (2020·新课标Ⅰ·理) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
2. （2）当x≥0时，f（x）≥ $\text{[math]}$ x³+1，求a的取值范围.
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10. (2020·新高考Ⅱ) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
2. （2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
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11. (2020·天津) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数．
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，

（i）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（ii）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，求证：对任意的 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

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12. (2020·江苏) 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， $\text{[math]}$ 为铅垂线( $\text{[math]}$ 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 $\text{[math]}$ (米)与D到 $\text{[math]}$ 的距离a(米)之间满足关系式 $\text{[math]}$ ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 $\text{[math]}$ (米)与F到 $\text{[math]}$ 的距离b(米)之间满足关系式 $\text{[math]}$ .已知点B到 $\text{[math]}$ 的距离为40米.
1. （1）求桥AB的长度；
2. （2）计划在谷底两侧建造平行于 $\text{[math]}$ 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 $\text{[math]}$ (万元)(k>0).问 $\text{[math]}$ 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
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13. (2020·江苏) 已知关于x的函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间D上恒有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求h(x)的表达式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求k的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
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14. (2020高三上·黑龙江月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 的斜率等于 $\text{[math]}$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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15. (2020·浙江) 已知1＜a≤2，函数f（x）＝e^x﹣x﹣a，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在（0，+∞）上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数y＝f（x）在（0，+∞）上的零点，证明：

（ⅰ） $\text{[math]}$ ≤x₀≤ $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）x₀f（ $\text{[math]}$ ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．

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