广东省深圳市第十三届中学生数理化综合实践活动高二数学学科知识...

更新时间：2021-12-15 浏览次数：260 类型：竞赛测试

一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分，每题只有1个选项是正确的)

1. (2021高二上·深圳竞赛) 某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长。假设在该传染病流行初期的感染人数为P₀ ，且每位已感染者平均一天会传染给r位未感染者的前提下，n天后感染此疾病的总人数P_n可以表示为P_n=P₀(1+r)ⁿ ，其中P₀≥1且r>0。已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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2. (2021高二上·深圳竞赛) 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD₁C₁上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD₁C₁与桌面所成角的正切值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. (2021高二上·深圳竞赛) 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）

A . 一尺五寸 B . 二尺五寸 C . 三尺五寸 D . 四尺五寸

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4. (2021高二上·深圳竞赛) 我国古代数学家刘微于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割．则与圆合体，而无所失矣”即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为π_n ，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π_2n可以表示为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021高二上·深圳竞赛) As shown in the figure， a regular square prism is formed by combining four unit cubes． AB is an lateral edge． P_i(i=1，2，8) are the other eights points in the upper base． The number of elements in the set {y|y= $\text{[math]}$ ，i=1、2、3……8 is（）．

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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6. (2021高二上·深圳竞赛) 在空间直角坐标系O-xyz中，四面体OABC各顶点坐标分别为：O(0，0，0)，A(0，0，2)，B( $\text{[math]}$ ，0，0)，C(0， $\text{[math]}$ ，0)。假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在AB，AC上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O点那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高二上·深圳竞赛) 如图所示，摩天轮的半径为40m，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45m，摩天轮匀速逆时针旋转每6min转圈，摩天轮上的点P的起始位置在最高点处．下面的有关结论不正确的是（）

A . 经过3 min，点P首次到达最低点 B . 第4 min和第8 min，点P距离地面一样高 C . 从第7min至第10min摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低 D . 摩天轮在旋转一周的过程中点P有2min距离地面不低于65m

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8. (2021高二上·深圳竞赛) 已知函数f(x)=log₃x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，函数h(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h(x)=g(x)-1，若函数y=k·f(x)+h(x)有3个零点，则实数k的取值范围是（）．

A . (1，2log₇3) B . (-2，-2log₅3) C . (-2log₅3，-1) D . (-log₇3， $\text{[math]}$ )

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二、填空题(本大题共4小题，每题8分，共32分)

9. (2021高二上·深圳竞赛) 2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ， x₅(单位：十万只)，若这组数据的方差为1.44，且x₁² ， x₂² ， x₃² ， x₄² ， x₅²的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩十万只．

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10. (2021高二上·深圳竞赛) 铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液．这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛应用．但是由于在实际生活中使用方法不当，电池能量未被完全使用导致了能源的浪费，因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中急需解决的问题．
研究发现当电池以某恒定电流放电时，电压U关于放电时间1的变化率y满足y=ae^bt+ $\text{[math]}$ (其中a，b为常数，无理数e=2.71828……)，实验数据显示当时间t的值为0和5时，电压U，关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752，则a=，b=(保留小数点后三位)．

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11. (2021高二上·深圳竞赛) 设点F₁ ， F₂分别为双曲线C： $\text{[math]}$ =1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上，若 $\text{[math]}$ ≈6 $\text{[math]}$ ，( $\text{[math]}$ )²= $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ ，且| $\text{[math]}$ |>| $\text{[math]}$ |，则双曲线C的离心率为

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12. (2021高二上·深圳竞赛) “伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”(如图甲)．已知该摩天轮的半径为6(单位：10 m)，游客在乘坐舱P上升到半空中鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12(单位：10 m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为日(如图乙，建筑物BC与摩天轮圆M位于同一垂直平面内)．
1. （1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ=30°，则建筑BC的高度为
2. （2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角θ=45°时，拍摄效果最好．若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，则建筑BC的最低高度为
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三、解答题(本大题共3小题，共70分)

13. (2021高二上·深圳竞赛) 某地实行垃圾分类后，政府决定为A，B，C三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾．已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30°方向，M在B的北偏西20°方向，且在C的北偏西45°方向，小区A与B相距2km，B与C相距3 km．(参考数据sin 5°=0.087，cos 5°=0.996)
1. （1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离；
2. （2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为a元/km，一辆小车的行车费用为ha元/km(其中λ为满足100λ是1~99内的正整数)．
  现有两种运输湿垃圾的方案：
  
  方案1：只用一辆大车运输，从M出发，依次经A，B，C再由C返回到M；
  
  方案2：先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后各自返回到A、C，一辆大车从M直接到B再返回到M．试比较哪种方案更合算？请说明理由．结果精确到小数点后两位
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14. (2021高二上·深圳竞赛) 一副标准的三角板(如图甲)中，∠ABC为直角，∠A=60°，∠DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥(如图乙)．设M是AC的中点，N是BC的中点．
1. （1）求证：平面ABC⊥平面EMN ；
2. （2）若AC=4，二面角E-BC-A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值．
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15. (2021高二上·深圳竞赛) 已知椭圆E： $\text{[math]}$ =1的左、右焦点分别为F、F，点P在直线m：x+y=4上，且不在x轴上．直线PF、与椭圆E的交点分别为A、B，直线PF₂与椭圆E的交点分别为C、D．
1. （1）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂ ．求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）问直线m上是否点P，使得直线OA，OB，OC，0D的斜率k_OA ， k_OB ， k_OC ， k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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试卷信息

小学

初中

高中

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副标题：

*注意事项：

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